Matematik statistika elemenlari. Emperik taqsimot funksiyasi va uning xossalari. Tanlanma xarakteristikalari va ularning taqsimot qonunlari. Tanlanma taqsimotlari parametrlarining nuqtaviy va intervallik baholari

Bosh to’plamning o’rtacha qiymat. O’rtacha tanlanma to’plamning qiymati

Bosh to’plamning o’rtacha qiymat _B deb bosh to’plam belgisi qiymatlarining arifmetik o’rtacha qiymatiga aytiladi.

Agar N hajmli bosh to’plam belgisining barcha x₁, x₂, ..., x_N qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda
_B=(x₁+x₂+...+x_N)/N.

Agar belgining x₁, x₂, ..., x_k qiymatlari mos N₁, N₂, ..., N_k chastotalarga ega va, N+N₂+...+N_k=N bo’lsa,

_B=(x₁N₁+x₂N₂+...+x_kN_k)/N.

Agar n hajmli tanlanma belgisining barcha x₁, x₂, ..., x_n qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda

_T=(x₁+x₂+...+x_n)/n

Agar belgining x₁, x₂, ..., x_k qiymatlari mos ravishda n₁, n₂, ..., n_k chastotalarga ega bo’lsa va n₁+n₂+...+n_k=n bo’lsa, u holda

_T=(n₁x₁+n₂x₂+...+n_kx_k)/n yoki

Ta’rif. Chetlanish deb belgining qiymati bilan umumiy o’rtacha qiymat orasidagi x_i- ayirmaga aytiladi.

Ta’rif. Bosh to’plamning dispersiya D_B deb bosh to’plam belgisi qiymatlarini o’rtacha qiymati _B dan chetlanishlari kvadratlarining o’rtacha arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar N hajmli bosh to’plam belgisining x₁, x₂, ..., x_N qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda
D_B .

Agar belgining x₁, x₂, ..., x_k qiymatlari mos ravishda N₁, N₂, ..., N_k chastotalarga ega, shu bilan birga N₁+N₂+...+N_k=N bo’lsa, u holda

D_B
Tanlanma to’plamning dispersiya D_T .
Agar x₁, x₂, ..., x_k qiymatlar mos ravishda n₁, n₂, ..., n_k chastotalarga ega va n₁+n₂+...+n_k=n bo’lsa,
D_T

Tanlanma to’plamning o’rtacha kvadratik chetlanish deb tanlanma dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

.


Ishonchli ehtimol. Ishonchli interval

Interval baho deb ikkita son - intervalning uchlari bilan aniqlanadigan bahoga aytiladi.

 bahoning  ^* bo’yicha ishonchliligi (ishonchli ehtimol) deb |- ^*|< tengsizlikni amalga oshishi ehtimoli  ga aytiladi, bu yerda >0 son bahoning aniqligini xarakterlaydi.
Odatda bahoning ishonchliligi oldindan berilgan bo’ladi, bunda  sifatida 0,95; 0,99; 0,999 qilib beriladi.
Aytaylik, |- ^*|< bo’lish ehtimoli  ga teng bo’lsin, ya’ni P{|- ^*|<}= yoki P{ ^*-<< ^*+}=.
Bu munosabatni bunday tushunish lozim ( ^*-,  ^*+) intervalning noma’lum  parametrni o’z ichiga olish ehtimoli  ga teng.
Ishonchli interval deb noma’lum parametrni berilgan  ishonchlilik bilan qoplaydigan ( ^*-,  ^*+) intervalga aytiladi.
Faraz qilaylik X son belgi normal taqsimlangan,  ma’lum, a-noma’lum bo’lsin. a-parametrni  ishonchlilik bilan qoplaydigan ishonchli intervallarni topishni ko’raylik.

Buning uchun

formuladan foydalanamiz.

x ni ga  ni ( ) ga almashtiramiz.

Demak,  ishonch bilan aytish mumkinki, ishonchli interval noma’lum a-parametrni qoplaydi: bahoning aniqligi t son Ф(t)=/2 tenglikdan topiladi. Ф(t) – Laplas funksiyasi.

Misol. X tasodifiy miqdor o’rtacha kvadratik chetlanishi =3 ma’lum bo’lgan noreal taqsimotga ega.
n=36, =0,95 Noma’lum a-matematik kutilma tanlanma o’rtacha qiymati bo’yicha baholash uchun ishonchli intervallarni toping.
Yechish. t ni topamiz 2F(t)=0,95, F(t)=0,475.
Jadvaldan t=1,96 ni topamiz.
=0,98
Ishonchli intervallar
( -0.98: +0,98)
agar =4,1 bo’lsa, u holda
-0,98=4,1-0,98=3,12.
+0,98=4,1+0,98=5,08
U holda 3,12<a<5,08
Nazorat savollari:

1. 
   Matematik statistikaning asosiy tushunchalari nimalardan iborat?
   
2. 
   Matematik statistika nimani o`rganadi?
   
3. 
   Taqsimotning empirik funksiyasi deb nimaga aytiladi?