Matematik statistikaning elementlari

3. Empirik taqsimot funksiya.
Biror  tasodifiy miqdor ustida n marta kuzatish o`tkazib,
(1)
natijalar olingan bo`lsin, u holda biz tanlanma to`plamga ega bo`lamiz. Tajribalar bir xil sharoitda, bir-biriga bog`liq bo`lmagan holda o`tkazilgan deb faraz qilinadi. Ma`lumki, tajriba natijalari (1) ya`ni 1-tajriba natijasi  (1-o`rinda yozilgan), 2-tajriba natijasi  (2-o`rinda yozilgan), …, n-tajriba natijasi  (n-o`rinda yozilgan) bo`lib, ular son qiymatlari bo`yicha tartibsiz joylashgan bo`lishi mumkin.
Agar tanlanma to`plam qiymatlar bo`yicha o`sish (yoki kamayish) tartibida
(yoki  )
kabi joylashtirilsa,

variatsion qator deyiladi.
(1) tanlanma to`plamdagi   lar variantalar deyiladi.
Agar tanlanmada  varianta  marta,  varianta  marta, ..., varianta marta (bu yerda  ) kuzatilgan bo`lsa, u holda 

sonlar chastotalar, 
sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi. Ravshanki,   bo`ladi.
Tanlanmaning statistik yoki empirik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalardan iborat ushbu jadvalga aytiladi:
yoki .
Ta`rif. Tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasi deb x ning har bir qiymati uchun quyidagicha aniqlangan funksiyaga aytiladi:
,
bunda  –  qiymatdan kichik bo`lgan variantalar soni;  – tanlanmaning hajmi.
Tanlanmaning empirik funksiyasidan farqli bosh to`plam uchun aniqlangan ushbu  funksiya nazariy taqsimot funksiyasi deb ataladi. Empirik va nazariy taqsimot funksiyalar orasidagi farq shundaki,  nazariy taqsimot funksiya  hodisa ehtimolligini,  empirik taqsimot funksiya esa shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teoremasidan kelib chiqadiki,  hodisa nisbiy chastotasi, ya`ni  shu hodisaning  ehtimolligiga ehtimollik bo`yicha yaqinlashadi. Boshqacha so`z bilan aytganda  va funksiyalalar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning uzidanoq, bosh to`plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo`lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi mulohazalardan, quyidagi teoremaning o`rinli ekanini ko`rish qiyin emas.
1-teorema. Biror  tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi  bo`lsin, bu tasodifiy miqdor ustida o`tkazilgan  ta o`zaro bog`liq bo`lmagan kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funksiyasi  bo`lsin. U holda ixtiyoriy  ( ) va ixtiyoriy  uchun
.
Demak, agar tanlanma hajmi katta bo`lsa empirik taqsimot funksiyasining  nuqtadagi qiymatini, nazariy taqsimot funksiyaning shu nuqtadagi qiymati uchun baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan.