Matematik tushuncha. Tushuncha hajmi va mazmuni. Tushunchani ta’riflash usullari

Aim.uz

Matematik mantiq elementlari

1. 
   Matematik tushuncha. Tushuncha hajmi va mazmuni. Tushunchani ta’riflash usullari
   

Matematika atrofimizdagi turli ob’ektlarni miqdoriy va fazoviy xossa va munosabatlarini o’rganuvchi fandir. U turli-tuman hodisa va predmetlarni o’rganish maqsadida turli-tuman matematik modellar yaratadi. Bu tashqi dunyo hodisalarining biron-bir majmuasini matematik simvolikalar yordamida tavsiflashdir. Matematik modellarni o’rganish bilan birga, biz biror real voqelikni o’rganamiz. Masalan, funktsiyaning xossalari haqidagi bilimlar turli miqdorlar orasidagi: vaqt bilan masofa orasidagi, buyum miqdori bilan narxi orasidagi va boshqa bog’lanishlarning o’ziga xos xususiyatlarini tavsiflash imkonini beradi.

Har qanday matematik ob’ekt ma’lum bir xossaga ega. Ob’ektning bu xossalari shu ob’ektni boshqa ob’ektlardan farqlash imkonini beradi. Bu xossalarni muhim va muhim bo’lmagan xossalarga ajratish mumkin.

Masalan, kvadratning to’rtta tomoni va to’rtta burchagi teng deyilgan xossa muhimdir. Uning tomoni gorizontal holatda turibdi degan xossa muhim emasdir.

Ob’ektning muhim xossasini bilish shu ob’ekt to’g’risida tushuncha hosil qilish demakdir.

Ob’ektning o’zaro bog’langan muhim xossalari to’plami bu ob’ekt haqidagi tushunchalar mazmuni deyiladi.

Matematik ob’ektlar bitta termin (so’z, nom) bilan ifodalanadi.

Tushunchaning hajmi deganda bitta termin bilan ifodalanadigan ob’ektlar to’plamiga aytiladi.

Tushuncha hajmi va mazmuni orasida bog’lanish mavjuddir.

Tushuncha hajmi qancha katta bo’lsa, uning mazmuni shuncha kichik bo’ladi. Masalan, “to’g’ri burchakli uchburchak” tushunchasi “uchburchak” tushunchasining hajmidan kichikdir, lekin uning mazmuni ikkinchisidan kattadir.

Ob’ektni bilish uchun uning muhim xossalarini ko’rsatish kerak. Bu

muhim xossalarni ko’rsatish ob’ektni ta’riflash deyiladi.

Ta’riflash oshkor va oshkormas ko’rinishda bo’lishi mumkin. Boshlang’ich sinflarda oshkormas ta’riflash usulidan foydalaniladi. To’g’ri burchakli uchburchak ta’rifi oshkor ta’riflashdir.

Kvadrat ta’rifining tuzilishini tahlil qilamiz. “Kvadrat deb hamma tomonlari teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakka aytiladi.” U mana bunday: dastlab ta’riflanuvchi tushuncha “kvadrat” ko’rsatiladi, keyin esa ushbu: to’g’ri to’rtburchak bo’lishlik, hamma tomonlari teng bo’lishlik xossalarini o’z ichiga oluvchi ta’riflovchi tushuncha kiritilgan.

“To’g’ri to’rtburchak bo’lishlik” xossasi “kvadrat” tushunchasiga nisbatan jins jihatdan tushunchadir. Ikkinchi xossa – “tomonlari teng bo’lishlik” – bu tur jihatdan xossa ko’rsatgichi, shu asosda kvadrat to’g’ri to’rtburchakning boshqa turlaridan farq qilinadi.

Maktab matematika kursining boshqa ta’riflari ham xuddi shunday tuzilishga ega. Bunday ta’riflar tuzilishini sxematik ravishda quyidagicha tasvirlash mumkin.

Tushunchalarni bunday sxema bo’yicha ta’riflash jins va tur jihatdan ta’riflash deyiladi.

Matematikada boshqa ta’riflash ham uchraydi. Masalan, “Uchburchak deb bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta va ularni juft-jufti bilan tutashtiruvchi uchta kesmadan iborat figuraga aytiladi” degan ta’riflashda, uchburchakni yasash usuli ko’rsatib ta’riflangan. Shu sababdan bu ta’riflash genetik (kelib chiqish) ta’riflash deb ataladi. Tushuncha ta’rifiga quyidagi talablar qo’yiladi:

1. 
   Ta’riflanuvchi va ta’riflovchi tushunchalar o’zaro mutanosib bo’lishi;
   
2. 
   Tushunchani o’zini-o’zi orqali ta’riflash mumkin emas;
   
3. 
   Tushunchada ortiqcha narsalar bo’lmaslik.
   

2. 
   Fikr tushunchasi. Fikrning inkori
   

Mantiq fikrlash usullarining tahlilidan iboratdir. Matematik mantiq esa, mantiq ob’ektlarini matematik usulda tekshiradigan fandir.

Matematik mantiqda fikr (mulohaza) boshlang’ich tushuncha bo’lib,

u ta’riflanmaydi. U rost yoki yolg’onligi bir qiymatli aniqlanadigan darak gap deb tushuniladi. Quyida fikrlarga doir misollar keltiramiz:

1. 
   Tekislikda berilgan ikkita turli nuqtadan bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi;
   
2. 
   Oxirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugaydigan butun sonlar 5 ga bo’linadi;
   
3. 
   Toshkent - O’zbekistonning poytaxti;
   
4. 
   16 natural son to’la kvadrat emas;
   
5. 
   
   

Bu keltirilgan fikrlardan birinchi uchtasi rost, qolgan ikkitasi yolg’ondir.

Fikrlarni yoki lotin harflari bilan belgilaymiz. Agar fikrlar o’zgaruvchi bo’lsa ularni yoki lotin harflari bilan belgilaymiz va ular fikr o’zgaruvchilari yoki propozitsional o’zgaruvchilar deyiladi.

Agar fikr bo’lsa, u faqat rost yoki yolg’on fikrlardan bittasigina bo’lishi mumkin. Agar fikr rost bo’lsa, unga 1 ni, yolg’on bo’lsa 0 ni mos qo’yamiz. 0 va 1 lar fikrning rostlik qiymatlari deyiladi.

Shunday fikrlar borki, ularni bir nechta tarkibiy qismlarga ajratish mumkin. Masalan, “P natural son tub yoki murakkab sondir” fikrni “P natural son tub”, “P natural son murakkab” deyilgan ikkita fikrga ajratish mumkin. “Tub sonlar to’plami cheksiz to’plamdir” yoki “Sardorbek kinoga bordi” fikrlarini yuqoridagidek tashkil etuvchi fikrlarga ajratib bo’lmaydi.

Ta’rif. Agar fikrni ikkitadan kam bo’lmagan tashkil etuvchi fikrlarga ajratish mumkin bo’lmasa, u holda elementar (sodda) fikr deyiladi, aks holda, murakkab fikr deyiladi.

Matematik mantiqda “emas”, “va”, “yoki”, “agar... bo’lsa, u holda... bo’ladi”, “... bo’lgan holda va faqat shu holda... bo’ladi” terminlar orqali elementar fikrlardan murakkab fikrlar, murakkab fikrlardan yana ham murakkabroq fikrlar hosil qilinadi va bu jarayon fikrlar ustida mantiq amallarini bajarish deyiladi. Yuqoridagi terminlarni mantiq bog’lovchilari, propozitsional yoki mantiq amallari deyilib, ularni mos ravishda “inkor”, “konyunktsiya”, “dizyunktsiya”, “implikatsiya” va “ekvivalentsiya” deb ataladi.

Matematik mantiqning fikrlarni yoki fikrlar ustidagi amallarni o’rganadigan bo’limi fikrlar algebrasi deyiladi.

Ta’rif. fikrning inkori deb, rost bo’lganda yolg’on va yolg’on bo’lganda rost bo’ladigan yangi fikrga aytiladi va u (yoki ) ko’rinishda belgilanib, u emas deb o’qiladi.

Quyidagi jadval inkorning rostlik jadvali deyiladi:

1	0
0	1

Misol. - “Toshkent - O’zbekistonning poytaxti”, u holda - “Toshkent O’zbekistonning poytaxti emas” degan fikrni bildiradi.

Ba’zan fikrning inkori “emas” mantiq bog’lovchisi bilan bir xil ma’noga ega bo’lgan terminlar orqali ham ifodalanadi.

Masalan, - “Akmal bugun maktabga bordi” fikrining inkorini - “Akmal bugun maktabga bormadi”, “Akmal bugun maktabga borgani yo’q” kabi ifodalash mumkin.

3. 
   Fikrlarni konyunktsiya, dizyunktsiya, implikatsiya va ekvivalentsiyasi
   

Ta’rif. va fikrlarning konyunktsiyasi deb, u fikrlarni har ikkalasi rost bo’lgandagina rost bo’lib, qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan va fikrlardan tuzilgan murakkab fikrga aytiladi va ko’rinishda belgilanadi, hamda “ va ” deb o’qiladi.

Quyidagi jadval konyunktsiya amalining rostlik jadvalidir:

1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	0

Misol. - “Kecha havo ochiq bo’ldi”, - “Kecha yomg’ir yog’madi” degan fikrlarning konyunktsiyasi - “Kecha havo ochiq bo’ldi va yomg’ir yog’madi” degan fikrdan iborat.

Ta’rif. va fikrlarning dizyunktsiyasi deb, u fikrlardan har ikkalasi yolg’on bo’lganda yolg’on, qolgan hollarda rost bo’ladigan va fikrlardan tuzilgan murakkab fikrga aytiladi va ko’rinishda belgilanadi, hamda “ yoki ” deb o’qiladi.

Quyidagi jadval dizyunktsiya amalining rostlik jadvalidir:

1	1	1
0	1	1
1	0	1
0	0	0

Misol. - “Ertaga havo ochiq bo’ladi”, - “Ertaga havo bulutli bo’ladi” degan fikrlarning dizyunktsiyasi - “Ertaga havo ochiq yoki bulutli bo’ladi” degan fikrdan iborat.

Ta’rif. va fikrlarning implikatsiyasi deb, faqat fikr rost fikr yolg’on bo’lgandagina yolg’on bo’lib, qolgan hollarda rost bo’ladigan va fikrlardan tuzilgan murakkab fikrga aytiladi va (yoki ) ko’rinishda belgilanadi va uni “Agar bo’lsa, u holda bo’ladi” deb o’qiladi. Bunda ni implikatsiya sharti, esa uning xulosasi deyiladi.

Quyidagi jadval implikatsiya amalining rostlik jadvalidir:

1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Misol. - “Rustam uyda qoladi”, - “Rustam kinoga boradi” degan fikrlarning implikatsiyasi - “Agar Rustam uyda qolsa, u holda u kinoga boradi” degan fikrdan iborat.

Ta’rif. va fikrlarning ekvivalentsiyasi deb, u fikrlarning har ikkalasi ham bir xil rostlik qiymatlariga ega bo’lgandagina rost bo’ladigan, qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan va fikrlardan tuzilgan murakkab fikrga aytiladi hamda (yoki yoki ) ko’rinishda belgilanadi. ni “ bo’lgan holda va faqat shu holda bo’ladi” deb o’qiladi.

Quyidagi jadval ekvivalentsiya amalining rostlik jadvalidir:

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Misol. - “Javlon kitob ustida ishlaydi”, - “Javlon a’lochi” degan fikrlarning ekvivalentsiyasi - “Javlon kitob ustida ishlagan holda va faqat shu holda a’lochi bo’ladi” degan fikrdan iboratdir.

Ekvivalentsiya tushunchasi matematikada muhim o’rin tutadi. Ikkita fikrlardan birining rostligidan ikkinchisining rostligi kelib chiqadigan bo’lgan hollarda unga murojaat qilinadi. Bu ekvivalentsiya ikki fikrlardan biri ikkinchisi uchun zaruriy va yetarli sharti ham deyiladi. Masalan, - “ juft sondir”, - “ juft sondir” degan fikrlar bo’lsin. - “ juft son bo’lgan holda va faqat shu holda juft son bo’ladi” degan fikrdan iborat bo’ladi. Misoldagi ekvivalentsiyani matematikada - “ juft son bo’lishi uchun, ning juft son bo’lishi zarur va yetarlidir” ko’rinishida ifodalanadi.