Matematika fakulteti

ERKINLIK MUAMMOSI
Har qanday aksiomatik hisobda aksiomalarning erkinlik masalasi, ya’ni birorta aksiomani sistemaning qolgan aksiomalaridan keltirib chiqarish qoidasi orqali hosil etish mumkinmi yoki yo’qmi degan muammo mavjud bo’ladi. Agar biror aksioma uchun bu masala ijobiy X etilsa, u holda bu aksioma sistema aksiomalari ro’yxatidan chiqarib tashlanadi va mantikiy hisob bu bilan o’zgarmaydi, ya’ni isbotlanuvchi formulalar sinfi o’zgarmasdan qoladi .

4 - ta’rif . Agar A aksiomani Mulohazalar hisobining qolgan aksiomalaridan keltirib chikarish mumkin bulmasa, u shu Mulohazalar hisobining boshka aksiomalaridan erkin aksioma deb ataladi.

5 - ta’rif. Agar Mulohazalar hisobi aksiomalar sistemasining har bir aksiomasi erkin bulsa, u holda Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi erkin deb ataladi.

6 - t e o r e m a . Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi erkindir.

Isbot. A Mulohazalar hisobining ixtioriy aksiomasi bo’lsin. Bu aksiomaning erkinligini isbotlash uchun Mulohazalar hisobiga nisbatan quyidagi usulni qo’llaymiz: Mulohazalar hisobi o’zgaruvchilarini A yoki R qiymat qabul qiluvchi o’zgaruvchilar sifatida qaraymiz.Bu yerda A chin rolini va R yolg’on rolini o’ynaydi.

l , v , - amallarni shunday aniqlaymizki, quyidagi shartlar o’rinli bo’lsin:

1)A aksiomadan tashqari sistemaning hamma aksiomalari tarkibidagi o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida

faqat A qiymatni qabul qilingan;

2 ) A aksiomadan boshqa, aksiomalar majmuasidan keltirib chiqarilgan har qanday formula ham tarkibidagi o'zgaruvchilarning barcha qiymatlarida faqat A qiymatni qabul kilsin;

3) A aksioma tarkibidagi o’zgaruvchilarning ayrim qiymatlarida R qiymatni qabul qilsin.

Agar A aksiomaga nisbatan yuqorida keltirilgan interpretatsiya (izoxdash) urinli bo’lsa, u holda A aksioma boshqa aksiomalardan erkin ekanligi kelib chiqadi. Xaqiqatan ham, agar A aksiomani mulohazalar hisobining boshqa aksiomalaridan keltirib chiqarish mumkin bo’lganda edi ,u shartlarning ikkinchisiga asosan tarkibidagi o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida faqat a qiymatni qabul qilib, bu esa 3 - shartga zid bular edi. Demak, A aksiomani

Mulohazalar hisobining boshqa aksiomalaridan keltirib chiqarish mumkin emas va u sistemadagi erkin aksiomadir.

O’zgaruvchilarining urniga ularning ayrim qiymatlari qo’yilganda ham formulalar ma’noga ega deb kelishamiz. Masalan, R , a —>A, a —> ( R —» a ) va boshkalar.

6 - ta’rif . Tarkibidagi uzgaruvchilarni a va r bilan al-mashtirganda bir xil qiymat qabul kiluvchi A va V formulalar teng kuchli formulalar deb ataladi hamda bu A = V kuri­ nishda yoziladi.

Tenglik belgisi, l,v , mantikiy boglovchilarga nisbatan sustrok bog’laydi deb hisoblaymiz.

Endi II, aksiomaning erkinligini isbot qilaylik. Buning uchun kon’yunktsiyadan tashkari qolgan hamma mantikiy amallarni xuddi mantiq algebrasidagidek va kon’yunktsiya amalini tenglik orqali aniqlaymiz:

Ushbu interpretatsiya uchun yuqorida keltirilgan uchtashartning bajarilishini ko’rsatamiz.

II,aksiomadan tashqari Mulohazalar hisobining qolgan hamma aksiomalari o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida A qiymat qabul kiladi (bu xolni chinlik jadvali orqali ko’rsatish mumkin).

Xakikatan ham I,III va IV guruh aksiomalarida kon’yunktsiya amali qatnashmaydi. Qolgan mantikiy amallar xuddi Mulohazalar algebrasidagidek aniqlangan.

Mulohazalar algebrasida bu formulalar aynan chin formulalar bo’lganligidan ushbu interpretatsiyada o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida qiymat qabul qiladi .

I, II, va III, aksiomalarni ko’raylik.

P2 va N3 aksiomalar qabul qilingan interpretatsiyada

u —>u formulaga teng bo’ladi va x = R, x = a qiymat lardar qiymat qabul qiladi, ya’ni hech qachon A qiymat qabul qilmaydi.

Endi aynaniga teng formulalardan keltirib chiqarish qoidasiga asosan hosil qilingan formulalar hammaga tengligini ko’rsatish qoldi, ya’ni 2- shartning bajarilishini ko’rsatish kerak.

Oldingi paragraflarda aynan chin formulalarga o’rniga qo’yish va xulosa qoidalarini qo’llash natijasida chikarilgan formulalar aynan chin formulalar bo’lishini kursatgan edik. Demak, 2 - shart ham bajariladi. Shunday qilib , Mulohaza lar hisobining II, aksiomasi erkin aksioma ekan.Xuddi shu sxemadan foydalanib, Mulohazalar hisobi­ning I, II, III va IV guruh va aridagi har bir aksiomaningerkinligini ko’rsatish mumkin. Demak Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi erkindir.