11-ma’ruza. Chiziqli fazo. Yevklid fazosi

^{11-ma’ruza.}
Chiziqli fazo. Yevklid fazosi

1. 
   Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar . L to’plam berilgan bo’lib,
   

__ __ ___

uning elementlari
x , y, z ,... u
vektorlar bo’lsin.

__ __

1. 
   L to’plamda «elementlarni qo’shish» amali kiritilgan, ya’ni  x , y  L
   

elementlari uchun shunday uchinchi bir
__
z  L
element biror qoida bo’yicha mos

__ __ __

qo’yilgan bo’lsin, va uni
z  x  y
deb belgilaymiz.

2. 
   L to’plamda «elementlarni songa ko’paytirish» amali kiritilgan, ya’ni 
   

__
x  L
__


va   R
son uchun L to’plamda shunday
__
u  L
element biror qoida

__ __
bo’yicha mos qo’yilgan bo’lsin, va uni u  a  x

3. 
   Bu ko’rsatilgan yuqoridagi ikkita amallar quyidagi sakkizta aksiomani qanoatlantirsin.
   

__ __
1⁰ x  y 
__ __
y  x
(o’rin almashtirish xossasi);

__ __ __ __ __ __

2⁰ ( x  y) z  x ( y  z )
(assosiativlik xossasi);

3⁰. L to’plamda shunday nol 0 element mavjud bo’lib, xL element uchun mana ushbu

__ __ __ __ __
x  0  0 x  x
tenglik bajarilsa;

4⁰ L to’plamdagi har qanday element mavjud bo’lib, ushbu
__
x  L
element uchun L da shunday
__

• 
  x  L
  

__ __ __
x  ( x)  0

__
tenglik bajarilsa (  x ni
__
x qarama-qarshi element deb ataymiz)

__ __

5⁰ 1 x  x
(x  L)

__ __ __

6⁰ ( x)  ( ) x
( x  L,
,   R)
(guruhlash xossasi)

__ __ __ __

7⁰ (  ) x)   x   x ( x  L,,   R)
(sonlar yig’indisini

ko’p.taq.xossasi)

__ __
__ __
__ __

8⁰ ( x  y)   x   y
( x, y  L,  R)
(element yig’indi sonini

taq.xossasi)

Bu I,II,III – shartni qanoatlantiruvchi L to’plamni chiziqli fazo deb ataymiz. Haqiqiy sonlar to’plamidagi chiziqli fazo, odatda haqiqiy fazo deyiladi, kompleks sonlar to’plamidagi chiziqli fazo esa, kompleks fazo deyiladi.
Chiziqli fazoga doir misollarni qaraymiz.

1. 
   Rⁿ  ^__  (x , x ,...,x ), x  haqiqiy sonlar ^
   

to’plamini qaraymiz. Rⁿ

^{ x} 1 2 n i ^
 
to’plamning elementlari ustida qo’shish va songa ko’paytirish amallari va 8 aksioma bajariladi. Haqiqatan,

 (x , x
,...,x )  ⁿ ( y , y ,...,y
)  R ⁿ ,   R
bo’lsin, u holda

^x 1 2
_n R , y  _{1 2 n}

x  y
 (x₁, x ₂ ,...,x _n )  ( y₁, y₂ ,..., y_n )  (x₁  y₁, x ₂  y₂ ,...,x _n  y_n )  R ⁿ

 x  (x₁,x₂,...,x_n )  Rⁿ .

0  (0,0,...,0,

 x  (x₁,x ₂ ,...,x _n ) .

n

Demak,
та

Rⁿ - chiziqli fazo bo’ladi.

2. 
   Darajasi n natural sondan oshmaydigan hamda qo’shish va songa ko’paytirish amallari odatdagicha bajariladigan barcha ko’phadlar to’plami chiziqli fazo hosil qiladi.
   
3. 
   Fazoning tayinlangan nuqtasidan chiquvchi barcha radius vektorlar to’plami haqiqiy chiziqli fazo hosil qiladi.
   

__ __ __ __

2. 
   Vektorlarning chiziqli bog’lanishi. Elementlari ixtiyoriy haqiqiy chiziqli L fazo berilgan bo’lsin.
   

x, y z ,..., n
bo’lgan

__ __ __ __ __ __ __

11.1-ta’rif. Agar
x, y z ,..., u vektorlar uchun x  y    z ,..., n

tenglikni qanoatlantiruvchi ,  ,...,
sonlar mavjud bo’lsa, u hoida
__
x vektor

y, z, ….,u vektorlar orqali chiziqli ifodalangan yoki ularning chiziqli kombinasiyasidan iborat deyiladi.

Bunda mumkin.
, ,...,
sonlarning ba’zilari (hatto hammasi) nolga teng bo’lishi

Masalan.
__
x  (7, 12, 7)
vektor
__
y  (1, 2, 5),
__
z  (3, 0, 7),
__
u  (4, 6,  8)
vektorlar

orqali chiziqli ifodalanadi:

__ __ __ __

x  3 y 0 z 1u ; (7, 12, 7)  3(1, 2, 5)  0(3, 0, 7) 1(4, 6,  8)

11.2-ta’rif. Agar berilgan

x , y, z ,... u
vektorlar uchun kamida bittasi

noldan farqli shunday,  , ,...,  (,  , ,...,   R ) sonlar mavjud bo’lsaki, ushbu

__ __ __ __ __

 x  y z   ...   u  0 (11.1)

__ __ ___

tenglik o’rinli bo’lsa, deyiladi.
x, y, z ,... u
vektorlar L chiziqli fazoda chiziqli bog’liq

__ __ ___

11.3-ta’rif. Agar berilgan
x, y, z ,... u
vektorlar uchun yuqorida aytilgan

shartlarni qanoatlantiruvchi sonlar mavjud bo’lmasa, ya’ni (11.1) tenglik faqat

__ __ ___

    
 ...    0
shartdagina bajarilsa,
x, y, z ,... u
vektorlar L chiziqli fazoda

chiziqli bog’lanmagan (erkli) deyiladi.
1-misol. Rasional sonlar maydonidagi uch o’lchovli vektor fazoning

__
x  (1, 0,  2),

__
y  (3,9, 3),

__
z  (3,6, 0)

__
u  (2, 5, 7)

vektorlari chiziqli bog’langan, chunki rasional 3, 2, -3, 0 sonlar uchun

__ __ ___

3 x  2 y  3 z  0 u  0

tenglik bajariladi, bunda
__
0  (0,0,0) .

2-misol. Ushbu
__
a  (1, 2,1),
__
b  (2, 1, 3),
__
c  (1, 3, 1)

vektorlarning chiziqli bog’lanmaganligini ko’rsating.

Haqiqatan ham

__ __ __ ___

 x   y  c  0 (11.2)

tenglikdan
      0
kelib chiqishini ko’rsatamiz.

Berilgan vektorlarni (11.2) tenglikka qo’ysak qo’yidagi birjinsli chiziqli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

(2, 2,1)   (2, 1, 3)   (1, 3, 1)  (0, 0, 0)

yoki


^{  2    0} 


2    3  0 ^


   3    0^

bu bir jinsli sistemaning asosiy determinanti noldan farqli shu sababli u faqat hol

yechimga ega bo’ladi

1  2
2 1
1 3
1
3  5  0
1

Demak, (11.2) tenglik faqat       0 bo’lgandagina bajarilar ekan.

11.1-teorema. Rⁿ
chiziqli fazoning
x, y, z,...,u
elementlari chiziqli

bog’langan bo’lishi uchun bu elementlardan birortasi qolganlari orqali chiziqli (kombinasiyasi) ifodalangan bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik bo’lsin, ya’ni
x , y ,, z , elementlar chiziqli bog’langan

x  ₁   ₂
y  ...   _n z  0
(11.3)

tenglik bajarilsin, bunda
 ₁, ₂ ,... _n
lardan aqalli birortasi noldan farqli, masalan

 ₁  0
bo’lsin, u holda (11.3) ni quyidagicha yozih mumkin

   

x   ^{ 2}
 ₁
y  ...  ^{ n} z
 _n

 ²   , ³   ,..., ⁿ  
deb belgilashlar kiritib,
x  
y  
z  ...   u ni

 ₁  ₁  _n
olamiz.

__ __ __ __

Bu esa
x elementni qolgan y, z ,..., u
elementlar orqali chiziqli

ifodalanganligini bildiradi.

__ __ __ __

Yetarliligi. Faraz qilaylik
x element qolgan y, z ,..., u
elementlarning chiziqli

(kombinasiyasi) ifodasi bo’lsin, ya’ni

x  
y  
z  ...   u

Bu tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.

x  
y  
z  ...  
u  0

(11.4)

__ __ __

Bu (-1),
, ,...,
sonlar bittasi noldan farqli, u holda (11.4) tenglik
x, y,..., u

elementlarning chiziqli bog’langanligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.

Qo’yidagi elementar tasdiqlar o’rinlidir:

1⁰ Agar x , y, z ,...,u elementlardan birortasi nol elementga ega bo’lsa, u holda

bu elementlar chiziqli bog’langandir.

__ __

Haqiqatan ham,
x  0
ega bo’lsin, u holda  x  
y  ...  
z  0
tenglik

o’rinli bo’ladi, agar
 1,   ...  
 0 bo’lsa.

2⁰ Agar
x , y, z ,...,u
elementlarning bir qismi chiziqli bog’langan bo’lsa, u

holda hamma elementlari chiziqli bog’langan bo’ladi.

3⁰ Har qanday


__

10. 
    vektorini chiziqli ifodalash mumkin.
    

x  x₁ e ₁ x₂
e ₂  ...  x_n
e _n  x₁, x₂ ,...,x_n .

3.