11-ma’ruza. Chiziqli fazo. Yevklid fazosi

11.10-ta’rif. Agar ixtiyoriy
  
da x_ , x_  0
bo‘lsa, u holda nolmas

x_ 
vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir

elementning normasi birga teng bo‘lsa, qisqacha ortonormal sistema deyiladi.
x_ 
ortogonal normalangan sistema,

Agar
^{x } vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda
^{x } chiziqli

bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham,

₁ x₁  ₂ x₂    _n x_n  

bo‘lsin. Bu tenglikning ikkala qismini ^x_i
bo‘lamiz
ga skalyar ko‘paytirib, quyidagiga ega

x_i ,₁ x₁  ₂ x₂    _n x_n  _i x_i , x_i  0,
i 1,2,,n

x_i ,
x_i   0
bo‘lgani uchun, barcha i {1,2,,n} larda ^_i ^{ 0}
bo‘ladi.

11.11-ta’rif. Agar ^{x } sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo
^E fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda ^{x } sistema to‘la deyiladi.

11.12-ta’rif. Agar
^{x } ortonormal sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema

^E fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi.
Ravshanki, agar ^{x } - ortogonal sistema bo‘lsa, u holda

ortonormal sistema bo‘ladi.
 x_
^1  x_ 

11.1-misol.
Rⁿ  x  x ,x ,...,x , x  R - n
o‘lchamli Evklid fazosi. Bu

1 2 n i
fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi



n
^{x, y } _ ^{xi yi} .
i1

Bu fazoda ^{{ek = (0,,0,1,0,,0)}n}
vektorlar sistemasi ortonormal bazisni tashkil

qiladi.

k
k =1

11.2. Kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar fazosi, ya’ni ^ ₂ ni qaraymiz. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi

x, y 




i1

10. 
    ^yi .
    

^ ₂ fazoda ortonormal bazis sifatida (5.8) tenglik bilan aniqlanuvchi
{e_n


}
n=1

vektorlar sistemasini olish mumkin.

_11.3. C₂[a, b]
fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
b
 f , g   _ f t gt dt.
a

(11.10)

Bu fazoda ortogonal (normalanmagan) bazisga

1. 
   , cos ^{2 nt} ,
   
2. 
   b  a
   

_sin 2 nt _,
b  a
n  1,2,

funksiyalardan tashkil topgan trigonometrik sistema misol bo‘ladi.

11.4.
L₂[a, b]
fazoda ham f
va g
elementlarning skalyar ko‘paytmasi

(11.10) tenglik bilan aniqlanadi.

11.13-ta’rif. Agar ^E Evklid fazosining hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli
to‘plam mavjud bo‘lsa, ^E separabel Evklid fazosi deyiladi.

Yuqorida keltirilgan

^Rn , ^ _2
, C₂[a, b] _va
L₂[a, b]

fazolar separabel Evklid

fazolariga misol bo‘ladi. Har qanday separabel Evklid fazosidagi ixtiyoriy ortonormal sistema ko‘pi bilan sanoqlidir. Mustaqil isbotlang.

11.5-teorema. (Ortogonallashtirish jarayoni). Bizga ^E
chiziqli bog‘lanmagan
Evklid fazosida

f₁,
f₂,, f_n ,
(11.11)

elementlar sistemasi berilgan bo‘lsin. U holda ^E
shartlarni qanoatlantiruvchi
₁, ₂,,_n,
Evklid fazosida quyidagi
(11.12)

sistema mavjud:

1. 
   (11.12) ortonormal sistema.
   

2. 
   Har bir ^_n
   

element
f₁,
f₂, , f_n ,
elementlarning chiziqli

kombinatsiyasidan iborat, ya’ni
_n  a_n1 f₁  a_n2 f₂    a_nn f_n ,


a_nn  0;

3. 
   har bir
   

^fn element
f_n  b_n1₁ b_n2 ₂   b_nn _n ,


b_nn  0

ko‘rinishda tasvirlanadi.

4. 
   (11.12) sistemaning har bir elementi 1-3 shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi.
   

Isbot. ^₁
element
^a11 ^f1
ko‘rinishda izlanadi va
^a11

₁,₁  a²  f , f  1

shartdan aniqlanadi. Bu yerdan

a₁₁ 
11 1 1
1 _ 1

• 
  ⁰ .
  

Ko‘rinib turibdiki, ^₁
bir qiymatli aniqlanadi. Faraz qilaylik, 1-3 shartlarni

^{qanoatlantiruvchi} _k , k {1,2,, n 1} ^{elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu}

 _n 
f_n   f_n ,₁₁   f_n ,₂ ₂     f_n ,_n1_n1

elementni kiritamiz. Ko‘rinib turibdiki, agar
k 1,2,,n 1
bo‘lsa,
 _n,_k   0

bo‘ladi.
 _n , _n   0
tenglik (11.11) sistemaning chiziqli erkli ekanligiga zid,

shuning uchun
^ _n , _n ^  0. Endi
_n 

deymiz. ^ _n
vektorning qurilishiga ko‘ra u
f₁,
f₂,, f_n
vektorlarning chiziqli

kombinatsiyasi va demak, ^_n
ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni

_n  a_n1 f₁  a_n2 f₂    a_nn f_n , bu yerda
a_nn   0

Bundan tashqari
^{n,n  1},
_n ,_k   0,
k  n _va

f_n  b_n1₁ b_n2 ₂   b_nn _n ,
b_nn  a^1 

• 
  ⁰ ,
  

nn
ya’ni ^_n

teorema shartlarini qanoatlantiradi. ∆

(11.11) sistemadan 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi (11.12) sistemaga o‘tish ortogonallashtirish jarayoni deyiladi. Ko‘rinib turibdiki, (11.11) va (11.12) sistemalardan hosil bo‘lgan qism fazolar ustma-ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar bir vaqtda to‘la yoki to‘la emas.

11.1-natija. Har qanday separabel Evklid fazosida sanoqli ortonormal bazis mavjud.

Isbot. ^_n - ^E
Evklid fazosining hamma yerida zich sanoqli to‘plam bo‘lsin.

Undan chiziqli bog‘langan elementlarni chiqarib tashlab, qolgan
f_n 
sistemaga

ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz. ∆