11-ma’ruza. Chiziqli fazo. Yevklid fazosi

Chiziqli fazo elementini bazis bo’yicha yoyish

11.4-ta’rif. L chiziqli fazoning har bir
__
x elementni uchun shunday

x₁, x₂,...,x_n
sonlar mavjud bo’lib, ushbu

x  x₁ e ₁ x₂ e ₂  ...  x_n e _n

__ __ __

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda
^e 1 ^{, e} 2 ^{,..., e} n
chiziqli bog’lanmagan vektorlar sistemasi

L chiziqli fazoning bazisi deyiladi, bunda koordinatalari deyiladi.
x₁, x₂,...,x_n
sonlar
__
x vektorning

11.2-teorema. L chiziqli fazoning har bir vektorlari orqali yoyish mumkin, ya’ni
__
x elementini yagona usulda bazis

x  x₁ e ₁ x₂ e ₂  ...  x_n e _n

4. 
   Chiziqli fazoning o’lchovi. L chiziqli fazo bilan berilgan bo’lsin.
   

x , y, z ,...u
elementlari

11.5-ta’rif. L chiziqli fazoning

x , y, z ,...u
elementlaridan n tasi chiziqli

bog’lanmagan (erkli) vektorlar sistemasi bo’lib, ixtiyoriy
n  1
tasi chiziqli

bog’langan bo’lsa, u holda L n o’lchamli chiziqli fazo deyiladi va quyidagicha

belgilanadi
dim L  n _.

11.6-ta’rif. Agar L chiziqli fazoda cheksiz ko’p chiziqli bog’lanmagan vektorlar sistemasi mavjud bo’lsa, u holda bu L cheksiz o’lchovli chiziqli fazo

deyiladi va
demL  
bo’ladi.

Misol. R maydonda darajalari olaylik. Bu fazoda ushbu
(n 1)
dan ortiq bo’lmagan ko’phadlar fazosini

1, x, x ²,...,x ^n1
vektorlar chiziqli bog’lanmagan, chunki
(11.5)

a₀  a₁x  ...  a
n1
_xn1 _{ 0}

tenglik, ma’lumki, fazoning istalgan
a₀  a₁  ...  a_n1  0
martdagina o’rinli bo’ladi. Endi,

f (x )  b₀  b₁x  ...  b_n1x ^n1
vektorni olsak, uning (11.5) vektorlar orqali ifodalanishi ko’rinib turadi. Shunday qilib, biz bunda n o’lchovli fazoga ega bo’lamiz.

11.3-teorema. Agar L chiziqli fazoning o’lchovi n ga teng bo’lsa, u holda bu L chiziqli fazoning n ta chiziqli bog’lanmagan vektorlari uning bazisi bo’ladi.

__ __ __ __

Isboti. L chiziqli fazoning elementlari
n  1 ta bo’lsin:
x, e₁, e₂ ,..., e_n bu

elementlarga mos , , ,...,
bog’langandir:
sonlar mos kelsin. U holda bu sistema chiziqli


bo’lsin, u holda
 x   e₁   e₂  ...   e_n  0

  

bo’ladi. x
x   _ e₁  _ e₂  ...  _ e_n
  ^ , x   ^ ,...,x   ^ , belgilasak, u holda

1 _ 2 _ n _

x  x₁ e₁  x₂ e₂  ...  x_n e_n
(11.6)

bo’ladi. Shartga ko’ra,
__
x L fazoning ixtiyoriy elementi, u holda (11.6) tenglikdagi

__ __ __

e₁ , e₂ ...e_n elementlar sistemasi L fazoning bazisi bo’ladi.

5. 
   Qism fazo
   

F maydon ustidagi V chiziqli fazoda V ' qism to’plam berilgan bo’lsin.
11.7-ta’rif. Agar V dagi qo’shish amaliga va vektorlarni F dagi skalyarlarga

ko’paytirish amaliga nisbatan V '
to’plam yopiq bo’lsa, ya’ni har qanday
x, y V '

, uchun
x  y V ' va har qanday
x V ',
  F
, uchun
 x V '
bo’lsa, u holda

V ' kism to’plamga V chiziqli fazoning qism fazosi deyiladi.

1. 
   natija. 0V ' .
   

Haqiqatdan ham ixtiyoriy
x V '
uchun
  0 deb olsak

0V ' .

2. 
   natija. Agar
   

x V ' bo’lsa,

• 
  x V '
  

bo’ladi.

Buni ko’rsatish uchun
  1 deb olish kerak.

2-natija. V ' to’plamning o’zi ham F maydon ustida V chiziqli fazoda
kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.
11.4-teorema. 1) V ' fazo V chiziqli fazoning qism fazosi bo’lsa,

bo’ladi.
2) Agar V '
dimV ' dimV

va V "lar V chiziqli fazoning qism fazolari va V ' V"

bo’lsa,

dimV ' dimV"buladi. Bundan tashqari oxirgi tengsizlikdan tenglik bo’lishi uchun
V ' V" tenglik bajarilishi zarur va yetarli.

6. 
   Yevklid fazosining ta’rifi. Yevklid fazosida elementning normasi tushunchasi. Yevklid fazosida ortonormallangan bazis qurish
   

Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir.

11.8-ta’rif. Bizga ^L haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar
^{L  L} dekart

ko‘paytmada aniqlangan
^p funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga

skalyar ko‘paytma deyiladi:

₁₎ p(x, x)  0,
x  L;
p(x, x)  0  x   ;

₂₎ p(x, y)  p( y, x), x, y  L;

₃₎ p( x, y)   p(x, y),
  R,
x, y  L _;

₄₎ p(x₁  x₂ ,
y) 
p(x₁, y)  p(x₂ , y),
x₁, x₂ ,
y  L _,

11.8-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi

_va x, y
elementlarning skalyar ko‘paytmasi
(x, y)
orqali belgilanadi.

^{Evklid fazosida} x
elementning normasi

x

(11.7)

formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib

chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb
ataluvchi quyidagi

tengsizlikdan kelib chiqadi.
x, y 
x  y

(11.8)

  R
Endi (11.8) tengsizlikni, ya’ni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz:

   x  y,  x  y  ²x, x 2 x, y y, y  ²
Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni
x ²  2 x, y
^{y 2} .

Bundan
D  4x, y²  4
x ² 
y ²  0.

x, y² 
x ² 
y ² , ya’ni
x, y 
x  y .

Endi (11.7) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz:

x  y
²  x  y, x  y  x, x 2x, y y, y 

 x ²  2 x  y 
y ²   x 
y ² .

Bundan
x  y  x  y
tengsizlik kelib chiqadi.

Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar

ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya’ni agar
x_n  x,
y_n  y
(norma bo‘yicha

yaqinlashish ma’nosida), ^_n ^{ }
(sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda

x_n  y_n  x  y,
_nx_n  x,
x_n , y_n  x, y.

Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha:

x_n  y_n  x  y 
x_n  x y_n  y 
x_n  x 
y_n  y
 0,
n  ;

_nx_n   x
 _nx_n   x_n   x_n   x
   _n x_n 
  x_n  x 

   _n 
x_n   
x_n  x
 0,
n  ;

x_n , y_n  x, y  x_n , y_n  x, y_n  x, y_n  x, y 

 x_n  x, y_n  
x, y_n  y 
x_n  x
 y_n 
x  y_n  y
 0,
n  .

Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya’ni uzunligini), balki vektorlar

orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli ^x
va y

vektorlar orasidagi ^
burchakning kosinusi
_{cos } x, y
(11.9)

x  y

formula bilan aniqlanadi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (11.9) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (11.9) formula haqiqatan ham,

nolmas ^x
va y
vektorlar orasidagi  ,
0    
burchakni bir qiymatli aniqlaydi.

Agar
(x ,
y)  0
bo‘lsa, u holda ^x
va y
vektorlar ortogonal deyiladi.