R(n)- funksiya va uning xossalari

1. r(n)- funksiya va uning xossalari. r(n)- funksiyasi.r(n)-arifmetik funksiyasi Butun sonini necha xil usulda ikkita butun sonning kvadrati yig‘indisi ko‘rinishida ifodalashlar sonini ya’ni menglamaning butun sonlardagi yechimlari sonini bildiradi. Bunda bir-biridan ishorasi yoki tartibi bilan farq qiluvchi yechimlar turli yechimlar debhisoblanadi.
Misol. .
Bu misoldan ko‘rinadiki r(n)-multiplikativ emas. Shuningdek biz Bundan ilgari р=4к+3 ko‘rinishdagi tub sonlarni 2 ta butun sonning kvadratlari yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin emasligini ko‘rgan edik. Shuning uchun ham, бU holda r(n)=0. Demak, r(n)-cheksiz ko’p marta nolga aylanar ekan va r(n)(( bo‘lgani uchun

Umuman olganda r(n) ning o‘sish tartibini baholab
(Bu yerda ) ekanligini, ya’ni , (Bu yerda k soni n ga bog‘liq bo‘lmagan musbat doimiy (o‘zgarmas) son) ni ko‘rsatish mumkin. Lекin biz bu yerda r(n) yig‘indi funksiyasi o‘rganish bilan chegaralanamiz.
Geometrik nuqtai nazardan R(N) bu aylana va uning ichidagi butun koordinatali nuqtalar sonini bildiradi. Tushunarliki R(N) taxminan shu doiraning yuzaga teng. Endi ushbu Gauss teoremasini isbotlaymiz.
1-Teorema (Gauss).
Isboti. Tekislikdagi butun koordinatali nuqtalar yuzasi birlik bo‘lgan kvadratlarning uchini bildiradi da yotuvchi har bir butun nuqtaga birta na shunday kvadratni mos qo‘yishimiz mumkin. (Bunda M. qaralayotgan nuqtaga kvadratning janubiy-g‘arbiy uchini mos qo‘yamiz). U holda R(N) o‘sha kvadratlar yuzalarining yig‘indisiga teng bo’ladi.
Bu kvadratlardan ba’zi birlari doirada to‘la yotmaydi, Ikkinchi tomondan esadoiraning ba’zi qismlari kvadratlar bilan qoplanmagan.Lekinda har bir kvadratning diogonali ga teng bo‘lgani uchun, bu kvadratlarning hammasi doirada yotadi (ichida), shuning uchun ham .Ikkinchi tomonidan qaralayotgan kvadratlar doirani to‘la qoplaydi, ya’ni Shunday qilib, .
Demak,