R(n)- funksiya va uning xossalari

5-misol.



6-misol.

Bu usul ham koeffitsiyentlar katta bo‘lgan holda aniq yo‘llanma (algoritmi) bo‘lmagani uchun unchalik ham qulay emas. Bunday hollarda (2) ning yechimining topish uchun aniq formulaga ega bo‘lish qulaydir.
Bu taqqoslamani bilan solishtirish
formulaga ega bo‘lamiz. Bu yerda sonini m moduli bo‘yicha eng kichik musbat yoki absolyut qiymati jihatdan eng kichik chegirma ko‘rinishda yozib olish muhimdir.
_Misollar.

Agar р-tub son bo‘lsa, , umuman agar n-sonining kanonik yoyilmasi bo‘lsa

3. DIRIXLE L - FUNKSIYASINING KOMPLEKS NOLLARI TO‘G‘RISIDA.
Faraz etaylik, natural son, komrleks son, moduli bo’yicha Dirixle xarakteri bo’lsin. Ma’lumki, Dirixle funksiyasi

tenglik bilan aniqlanadi [6]. Bu funksiyaning barcha kompleks nollari
to‘g‘ri chiziqda yotadi degan gipoteza mavjud bo’libu hozircha to‘liq isbotlanmagan. Lekin sonlar nazariyasining hozirgacha hal etilmagan ko’pchilik masalalari shu gipoteza bilan bog’liq.
Avvalo, funksiyaning barcha kompleks nollarining
yo‘lakda joylashgani va ular ga va haqiqiy o‘qqa nisbatan simmetrik joylashgani isbotlangan. Keyinchalik Bu aniqlashtirilib sohada Dirixle funksiyasining nollari mavjud emas ekanligi isbotlandi [6]. Shuning uchun Dirixle funksiyasining kompleks nollari to‘g‘risida izlanishlar muhim hisoblanadi.
UshBu paragraf kompleks xarakter bo‘lganda (1) dagi o‘zgarmasning qiymatini aniqlashga bag‘ishlangan bo‘lib, unda avvalo s ning boshqa parametrlar bilan bog’liq formulasi topilgan va undan foydalanib ning qiymati hisoblangan. Xususan quyidagi Teorema isbotlangan:
1-Teorema. Agar kompleks xarakter bo’lsa, U holda unga mos
Dirixle funksiyasi ning

sohada nollari mavjud emas.
Bu Teorema dastavval Peydj va Knapovskiylarga tegishli bo‘lib, undagi o‘zgarmaslarning son qiymatlari I.Allakov [16,17] tomonidan aniqlashtirilgan.
Faraz etaylik 𝑃 yetarlicha katta natural son va bo’lsin.
1-Teoremaning Isboti. Faraz etaylik bo’lsin. ning dagi nollari ning dagi nollari bilan qo‘shma kompleks bo‘lgani uchun ham Bu Farazimiz umumiylikni chegaralamaydi. haqiqiy son bo‘lganda

tengsizlikni qaraymiz. va debolib (2) da

tenglikdan foydalansak

ga ega bo’lamiz. Avvalo kompleks primitiv xarakter bo’lsin. (3) dagi Har bir qo‘shiluvchini yuqoridan baholaymiz. bo’lsa, 1-Lemmaga Natija

(3) dagi qolgan ikkita hadni baholash uchun [6] ning 133-betida keltirilgan formula


dan foydalanamiz. (4) ning o‘ng tomonidagi oxirgi yig‘indi uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:

Bu yerda (5)-bahodan foydalansak

ni hosil qilamiz. Bunda va

Shunday qilib

ekanligini e’tiborga olib ([5] ning 14-§ dagi (3)-tenglik) (4) dan quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu baho bo‘lganda ixtiyoriy haqiqiy yoki kompleks primitiv xarakter uchun o‘rinli bo’ladi. Endi

bo‘lgani uchun (6) ning o‘ng tomonidagi qatorning hammasini to‘laligicha yoki uning qismini tashlab yuborish mumkin.
Qaralayotgan holda xarakter primitiv bo‘lmasligi mumkin. Agarda xarakter bilan indutsirlangan primitiv xarakterni deb olsak, U holda va

Shuning uchun ham (6) ga ko’ra



Bunda



Hosil qilingan baholarni (3) ga qo‘yib va , ( ),

debolib primitiv xarakter uchun Lemmadagi tasdiqni hosil qilamiz.

tenglikka asosan funksiyaning ning nollaridan farqli nollari ko’paytuvchining chekli sondagi nollaridan iborat bo‘lib to‘g‘ri chiziqda yotadi. Shuning uchun ham Bu yerda 𝜒 ning primitivligini talab qilmasak ham Lemma o‘rinli bo’libqoladi.