R(n)- funksiya va uning xossalari

4. . Chebishev funksiyalari. Bizga ma’lumki (natural qatordagi ) tub sonlar soni cheksiz ko’p edi. Shuning uchun ham agar biz orqali x dan katta bo‘lmagan tub sonlar sonini belgilasak, ya’ni



debbelgilasak, U holda ekanligi kelib chiqadi.
Biz Bu yerda qatorning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Bundan esatub sonlar sonining cheksizligining yana bir Isboti kelib chiqadi.
1-Teorema (Eyler). Agar р tub sonlar to‘plamdagi barcha qiymatlarni qabul qilsa U holda yig‘indi va ning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz etaylik
.
bo’lsin. Agar u, 00-butun son bo’lsa, U holda

Bu yerda debolsak



m ni shartni qanoatlantiruvchi qilib tanlab olamiz. U holda

bajariladi. Haqiqatan ham, Har bir butun son n, nx, faqat px ni qanoatlantiruvchi tub ko’paytuvchilarga ega bo’ladi.
shart oxirgi tengsizlikning chap tomonini ochib chiqqanda o‘ng tomonidagi barcha hadlarning paydo bo’lishini ta’minlaydi.
Shunday qilib,

Bu yerdan , ya’ni - uzoqlashuvchi.
Endi ning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun Ushbu yoyilmani

Oxirgi tengsizlikda debolsak:

Shunday qilib,

qator uzoqlashuvchi. Teorema isbot bo‘ldi.

2. funksiyalari: Chebishevning funksiyalari quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi.

(2) yig‘indi barcha shartni qanoatlantiruvchi p, m lar bo’yicha olinadi.
Biz ilgari Mangoldt funksiyasini

tenglik yordamida kiritgan edik. Ta’rifdan

kelib chiqadi.
(1) va (2) dan

Tushunarliki agar bo’lsa, bo’ladi va aksincha. U holda (2) dan


(4)
(4) qator albatta chekli bo’ladi, chunki agar x<2 bo’lsa bo’lsa (3) formuladagi lnpm-marta olinadi. BU holda бўлgani uchun (2) ni

ko‘rinishda yoza olamiz.
Endi funksiyalar orasidagi bog‘lanishlarni topamiz.
bo’lsa, U holda
bo’ladi.
Isboti. (4) dan
(5) dan esa

Agar bu tengsizlikni х ga bo’libx limitga o‘tsa,

ga ega bo’lamiz.
, << - haqiqiy sonini tanlab olamiz va х>1 bo’lsin. U holda

hamda bo‘lgani uchun

Bu yerda

Bu yerda  ixtiyoriy haqiqiy son <<. Demak biz debolishimiz мумкин. U holda kelib chiqadi.

ham xudi shu yo‘l bilan isbotlanadi.
Demak, 2-Teoremadan agar qaralayotgan
ifodalarning birortasi limitga ega bo’lsa qolganlari ham limitga ega bu limitlar teng bo‘lar ekan.
Shuning uchun ham tub sonlar taqsimotining asimp. qonunini isbotlash uchun ni isbotlash yetarli