Matematika fani predmeti. Matritsalar. Reja

 

Teskari matritsa haqidagi teorema. 

 

Ta’rif.    Agar  bir  xil  o’lchamli  A  va  B  kvadrat  matritsalar  uchun    AB=BA=E    (E-birlik  matritsa) 

munosabat o‘rinli bo‘lsa, u vaqtda ularni o‘

zaro teskari matritsalar 

deyiladi. 

Agar A kvadrat matritsa berilgan bo‘lsa, unga teskari matritsani A

-1

 orqali belgilanadi. Yuqoridagi 

ta’rifga ko‘ra  

 

 

 

 

E

A

A

AA









1

1

 

munosabat o‘rinli bo‘ladi. 

 

Agar  teskari  matritsa  mavjud  bo‘lsa,  uning  yagona  bo‘lishi  ta’rifidan  kelib  chiqadi.  Haqiqatdan 

ham, A matritsaga ikkita 

1

1



A

 va 

1

2



A

 teskari matritsalar mavjud deb faraz qilsak,  









1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

,























































A

A

A

EA

A

A

A

A

E

A

AA

A

E

A

A

AA

E

A

A

AA

 

ni olamiz. 

 

Berilgan  kvadrat  matritsaga  teskari  matritsa  har  doim  ham  mavjud  bo‘lavermaydi.  Bu  o‘rinda 

quyidagi tasdiq to‘g‘ridir. 

 

Teorema.  Matritsaga  teskari  matritsa  mavjud  bo‘lishi  uchun  u  maxsus  bo‘lmasligi  (diterminanti 

nolga teng bo‘lmasligi) zarur va yetarlidir. 

 

Isboti.  A=[a

ij

]

n

 – kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Unga teskari matritsani  A

-1

=[x

ij

]

n

  deb faraz 

qilaylik. U vaqtda,  AA

-1

=E  tenglikdan 













n

k

ij

kj

ik

n

j

n

i

x

a

1

;

1

,

;

1

;



 

 

 

 

(3.1) 

dan  iborat  n  noma’lumli  n  ta  chiziqli  tenglamalarning  n  ta  sistemalarini  olamiz.  Bu  sistemalar 

koeffitsiyentlari bir xil bo‘lib,  A matritsa elementlaridir, o‘ng tomoni  esa  birlik matritsaning mos  ustun 

elementlaridir (



ij

 – Kroneker belgisi ekanligini esalatamiz). 

 Demak, 

0

det



A

  bo‘lsa,  bu  sistemalarning  har  biri  yagona  yechimga  ega  bo‘lib,  teskari 

matritsaning mos ustun elementlarini aniqlaydi. Bu teoremaning yetarli qismining isbotidir.  

Endi, A

-1

 mavjud bo‘lsin deylik, u vaqtda 

Е

АА





1

 o‘rinli bo‘lib, bundan  

1

det

det

1







A

A

 ni 

olamiz.  Agar   

0

det



A

  deb  faraz  qilsak,  oxirgi  tenglikdan 

1

0



  ziddiyatli  tenglikka  kelamiz,  demak, 

0

det



A

 bo‘lar ekan. Bu teoremaning zaruriy qismining isbotidir. 

 

Bu  yerda  Kramer  formulalaridan  foydalansak  va  (3.1)  ning  har  bir  sistemasining  o‘ng  tomoni 

birlik matritsaning mos ustuni ekanligini e’tiborga olsak, 

0

det



A

 bo‘lganda 

n

j

n

i

A

A

x

ji

ij

;

1

,

;

1

,

det







 

ekanligi kelib chiqadi, bu yerda 

ji

A

 

A

det

 ning 

ji

a

 elementiga mos algebraik to‘ldiruvchidir. 

 

Agar 

 

n

ij

A

C



 matritsani qarasak, u vaqtda 

*

det

1

1

C

A

A





 

ekanligi ravshandir. Demak, 





























nn

n

n

n

n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

det

1

2

1

2

22

12

1

21

11

1

. 

Ushbu 























6

5

3

5

4

2

3

2

1

A

  matritsa  uchun  teskari  matritsani  topaylik.  Buning  uchun,  avvalo, 

A

det  

determinantni yozamiz va uni hisoblaymiz: 

0

1

3

1

0

1

0

0

3

2

1

6

5

3

5

4

2

3

2

1

det

















A

. 

Demak,  A  –  maxsusmas  matritsa,  unga  teskari  matritsa  mavjud.  Endi, 

A

det   ning  har  bir  satr 

algebraik to‘ldiruvchilarini hisoblaymiz:  

 

A

11

 = 4

.

6 – 5

.

5 = –1,     A

12

 = –(2

.

6 – 3

.

5) = 3, 

A

13

 = 2

.

5 – 3

.

4 = -2, 

A

21

 = –(2

.

6 – 5

.

3 = 3,   A

22

 = 1

.

6 – 3

.

3 = -3,   

A

23

 = –(5

.

1 – 3

.

2) = 1, 

A

31

 = 2

.

4 – 4

.

3 = –2,     A

32

 = –(1

.

5 – 3

.

2) = 1, 

A

33

 = 1

.

4 – 2

.

2 = 0. 

 

Bularni mos ravishda ustunlar qilib yozib, C



 matritsani tuzamiz: 

































0

1

2

1

3

3

2

3

1

С

 

Nihoyat, C



 ning barcha elementlarini detA=-1 ga bo‘lib teskari matritsaga ega bo‘lamiz: 

































0

1

2

1

3

3

2

3

1

1

A

. 

Endi, A

.

A

-1

=E ekanligini tekshiramiz. Haqiqiatdan ham, 

E

A

A

























































































































































































































1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

6

)

1

(

5

2

3

)

1

(

6

3

5

)

3

(

3

2

6

)

3

(

5

1

3

0

5

)

1

(

4

2

2

)

1

(

5

3

4

)

3

(

2

2

5

)

3

(

4

1

2

0

3

)

1

(

2

2

1

)

1

(

3

3

2

)

3

(

1

2

3

)

3

(

2

1

1

0

1

2

1

3

3

2

3

1

6

5

3

5

4

2

3

2

1

1

 

Shunga o‘xshash,  A

-1

 

.

A=E ekani ham ko‘rsatiladi.

 

 

Nazorat savollari: 

 

1.  Matematika fani predmeti va vazifasi nimadan iborat? 

2.  Matritsaga ta’rif bering. Matritsalarning qanday turlari bor? 

3.  Qanday matritsalar teng deb hisoblanadi? 

4.  Matritsalar ustida qanday chiziqli amallar bajarish mumkin? 

5.  Berilgan matritsalarni qo‘shish, ayirish va songa ko‘paytirish qanday bajariladi? 

6.  Matritsalarni ko‘paytirish amalini tushuntiring. 

7.  Matritsada elementar almashtirishlar deganda nimani tushunasiz? 

8.  Ikkinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi? 

9.  Uchinchi tartibli determinant tushunchasini bering. 

10. Uchinchi tartibli determinantni hisoblashda uchburchaklar usulini ko‘rsating. 

11. Uchinchi tartibli determinantni hisoblashda Sarryus usulini ko‘rsating. 

12. n-tartibli determinant haqida tushuncha bering. 

13. Determinant minori va algebraik to‘ldiruvchilariga ta’rif bering. 

14. Determinantning xossalarini keltiring. 

15. Yuqori tartibli determinantlarning qiymati qanday hisoblanadi? 

16. Matritsaning rangi nima? U qanday topiladi? 

17. Matritsada qanday elementar almashtirishlar bajarish mumkin? 

18. Teskari matritsa haqida tushuncha bering. 

19. Kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo‘lishi uchun qanday shart bajarilishi kerak?  

20. Matritsaga teskari matritsa qanday topiladi? 

 

 

Tavsiya etiladigan adabiyotlar. 

 

1. Oliy matematika. Yo.Soatov (1-jild) 64-74-betlar. 

2. Oliy matematika. Yo.Soatov (3-jild)  15-23-betlar. 

3. Oliy matematika. Sh.R.Xurramov (1-jild) 13-20-betlar.