Matematika fanining dunyo madaniyati va tarixidagi tutgan o’rni

Yevklidning „Negizlar“i. Miloddan avvalgi IV asrga kelib, asosan, geometriya bo‘yicha bilimlar to‘plash davri yakun topdi va ularni tartib bilan bayon qilishga urinishlar qilindi. O‘sha davrda to‘plangan matematik bilimlar majmuyini o‘z ichiga olgan, Yevklid tomonidan yozilgan „Negizlar“ bilimlarning tizimga tushirilganligi bo‘yicha barchaga manzur bo‘ldi. Kitobdagi materialning mantiqiy qat’iyligi uning keyingi yigirma asr mobaynida asosiy darslik bo‘lib xizmat qilishini ta’minladi. „Negizlar“ o‘n uchta kitobdan iborat bo‘lib, ularning har birida teoremalar ketma-ket bayon qilingan. Xususan, geometriyaga birinchi, to‘rtinchi, oltinchi, o‘n birinchi va o‘n ikkinchi kitoblar bag‘ishlangan. Birinchi kitob ta’riflar, aksiomalar va postulatlarni o‘z ichiga oladi. Yevklid ular yordamida matematik tushunchalarni kiritgan tasdiqlar — ta’riflardir. Masalan, „Nuqta — qismlarga ega bo‘lmagan narsa“, „Chiziq — ensiz uzunlik“ va hokazo. Bu tasdiqlar ko‘p marta tanqid qilinganligiga qaramasdan, ulardan mukammal ta’riflar haligacha berilgan emas. Hozirgi vaqtda bu nazariya obyektlari va ularning xossalarini bayon qilish uchun aksiomalar sistemasi ishlatiladi.
Yevklid miqdorlarning tengligi yoki tengsizligi munosabatlarini kirituvchi tasdiqlarni aksiomalar deb ataydi. „Negizlar“da beshta aksioma berilgan.
1. Bitta narsaga teng bo‘lganlar o‘zaro tengdir.
2. Tenglarga tenglar qo‘shilsa, yana tenglar hosil bo‘ladi.
3. Tenglardan tenglar ayirilganda, qoldiqlar ham teng bo‘ladi.
4. O‘zaro bir-biriga joylashadiganlar o‘zaro tengdir.
5. Butun qismdan kattadir.
Yevklid geometrik qurishlar imkoniyati haqidagi beshta tasdiq —
postulatlarni alohida ajratgan.
1. Ikki nuqtadan to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
2. To‘g‘ri chiziq kesmasini cheksiz davom ettirish mumkin.
3. Ixtiyoriy nuqtadan istalgan radiusli aylana o‘tkazish mumkin.
4. To‘g‘ri burchaklar o‘zaro tengdir.
5. Agar bir tekislikda yotgan ikkita to‘g‘ri chiziq uchinchi to‘g‘ri chiziq bilan kesishsa va ichki bir tomonli burchaklarning yig‘indisi 180° dan kichik bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlar ana shu tomondan kesishadi.
„Negizlar“ning birinchi kitobida asosiy yasashlar, kesmalar va burchaklar ustida amallar, uchburchaklar, to‘g‘ri to‘rtburchaklar va parallelogrammlarning xossalari qaralgan, bu shakllarning yuzlari taqqoslangan hamda Pifagor teoremasi va unga teskari teorema berilgan. Ikkinchi kitobda to‘g‘ri to‘rtburchaklar va kvadratlarning yuzlari orasidagi munosabatlar qaralgan. Bu masalalar algebra masalalarini yechish uchun geometrik apparat hosil qiladi. Uchinchi kitob aylana va doira, markaziy va ichki chizilgan burchaklar, vatarlar va urinmalar xossalari bilan bog‘liq masalalarga bag‘ishlangan. To‘rtinchi kitobda esa muntazam ko‘pburchaklarning xossalari, ichki va tashqi chizilgan ko‘pburchaklar hamda muntazam uchburchak, muntazam beshburchak, muntazam oltiburchak va muntazam o‘n besh burchaklarni qurish qaralgan. Beshinchi kitobda proporsiyalar qaralgan. Oltinchi kitob nisbatlar nazariyasining geometrik tatbiqlariga bag‘ishlangan. Unda burchak tomonlarini ikki parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesganda hosil bo‘ladigan kesmalarning proporsionalligi haqidagi, umumiy balandlikka ega bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar va parallelogrammlar yuzlarining nisbati haqidagi hamda o‘xshash shakllar yuzlarining nisbati haqidagi teoremalar isbotlangan.
„Negizlar“ning o‘n birinchi — o‘n uchinchi kitoblari stereometriyaga bag‘ishlangan. Ulardan birinchisi ta’riflardan boshlanadi. So‘ngra fazoda to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklarning o‘zaro joylashuvi haqidagi qator teoremalar hamda ko‘pyoqli burchaklar haqidagi teoremalar keltiriladi. Kitobning oxirida parallelepipedlar va prizmalar hajmlarining nisbati qaraladi. O‘n ikkinchi kitob piramida, silindr, konus va sharning hajmlarini hisoblashga bag‘ishlangan. O‘n uchinchi kitobda sharlar hajmlarining nisbati hamda 5 ta muntazam ko‘pyoq: tetraedr (to‘rtyoq), geksaedr (oltiyoq), oktaedr (sakkizyoq), dodekaedr (o‘n ikkiyoq), ikosaedr (yigirmayoq)larni qurish usullari qaralib, boshqa turdagi muntazam ko‘pyoqlarning yo‘qligi isbotlangan. Bu qisqa tahlil shuni ko‘rsatadiki, „Negizlar“ uchun asosiy aniqlovchi omil matematika kursini qurishning aksiomatik xarakterda ekanligidan iboratdir.
Yevklidning beshinchi postulati. Beshinchi postulat Yevklid aksiomalari tizimida alohida o‘rin tutadi. Beshinchi postulatning boshqa aksiomalar va postulatlardan farqi shundaki, u boshqalar kabi ko‘rgazmalilik xususiyatidan xoli va dastlabki 28 ta teoremaning isbotida qo‘llanilmaydi. Shu sababli, sharhlovchilar uni mustaqil teorema shaklida isbotlashga uringanlar. Agar ikkita A va B tasdiqdan biri ikkinchisini keltirib chiqarsa, ular teng kuchli deyiladi. Beshinchi postulatni isbotlashga urinishlar natijalari unga teng kuchli tasdiqlar ochilishiga sabab bo‘ldi:
1. a to‘g‘ri chiziqdan tashqarida yotgan A nuqta orqali a to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tmaydigan yagona to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
2. Bitta to‘g‘ri chiziqqa o‘tkazilgan perpendikular va og‘malar kesishadi.
3. Ixtiyoriy uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi ikkita to‘g‘ri burchakka teng.
4. Ikkita parallel to‘g‘ri chiziqdan birini kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq ularning ikkinchisini ham kesib o‘tadi.
5. Parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa o‘zgarmasdir.