Matematika” kafedrasi Hamroyeva Muqaddas Bozorovnaning

bet	7/8
Sana	23.08.2020
Hajmi	0.94 Mb.
	#127402

1 2 3 4 5 6 7 8

Bog'liq
karrali qatorlarning yaqinlashish toplamlarini organish

2.2.1-lemma: Agar (2.2.1) qator

1

;

}

{

'

n

n

x

x

y

x

n

n

n

n





ketma-ketlikning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo'lsa va



}

{

n

y

ketma-ketlik

0

0





y

y

n

, b)

0

y

y

n



, c)

0

y

y

n



shartlardan birortasini qanoatlantirsa, u holda

)

(

y



agar

0

y

y

n



, yoki

0

y

y

n



bo'lsa,

)

(

y



, agar

0

y

y

n



bo'lsa.

2.2.2-teorema: Agar (2.2.1) qator

}

{

x

x

y

y

y

x

Q

n

n

n

n









ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda bu qator

Q

y

y

x

x

E







}

{

to'plam absolyut yaqinlashuvchi, to'plam tashqarisidagi ixtiyoriy nuqtada qator

uzoqlashuvchi bo'ladi.

Isboti: (2.2.1) va (2.2.2) lemmalardan

)

1

(

x

R



)

(

y

R



bo'lishi kelib

chiqadi. U holda (2.2.1)-teoremaga ko'ra qator

}

{

y

y

x

x



to'rtburchakda

absolyut

yaqinlashuvchi

bo'lishi

kelib

chiqadi.

yerda,

}

,

min{

min{

)

(

)

(

__

y

R

y

x

R

x



)

(

,

x

x

R



u holda

__

x



. Xuddi shu kabi

__

y



. Qatorning E to'plamda yaqinlashuvchi bo'lishidan, uning

}

{

0

y

y

x

x



to'plamda absolyut yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi.

Faqatgina qatorning ixtiyoriy tayinlangan

E

y

x



)

(

nuqtada uzoqlashuvchi

bo'lishi mumkinligini isbotlash qoldi.

E

y

x



)

(

u holda

'

x



yoki

'

y



Aniqlik uchun

x

x



bo'lsin, u holda shunday m son mavjudki barcha

m

n



lar

uchun

n

x

x



munosabat o'rinli.















m

k

k

k

m

m

m

n

n

y

b

y

b

y

b

b

y

y

y

P

...

)

(

)

(

bo'lsin.

(2.2.1) qatorning koefisentlari quyidagicha aniqlangan bo'lsin :

m

k

a

k

m

i

x

b

a

k

i

i

m

k

k

i













q>m bo'lganda quyidagiga erishamiz:

 









p

i

m

k

p

i

i

m

k

k

i

m

i

q

p

k

i

k

i

k

i

q

p

x

x

y

P

y

b

x

x

y

x

a

y

x

S

)

(

)

(

)

(

Bu tenglikdan







,

k

i

k

i

k

i

y

x

a

qator

m

n



bo'lganda

m

n

y

P

n





)

(

bo'lganda



m

n

x

x

bo'lganligi uchunn



}

{

n

n

y

x

ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi.

Ammo bu qator

)

(



y

P



m

x

x

bo'ladigan

)

,

(

'

y

nuqtada uzoqlashuvchi

bo'ladi, teorema isbotlandi.

2.2.1-natija: Agar (2.2.1) qator biror ochiq G to'plamda yaqinlashuvchi

bo'lsa, u holda u bu to'plamda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.

2.2.3-teorema: Agar (2.2.1) qator

0

1

}

{

y

y

x

x

y

x

G

n

n

n

n









ketma-

ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda bu qator

}

y

y

x

x



to'rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.

Qator

Q

y

y

x

x

E









}

{

to'plam tashqarisida uzoqlashuvchi bo'lishi

mumkin.

2.2.1-misol:

















m

i

i

k

m

m

m

n

n

x

b

x

b

x

b

b

x

x

x

P

...

)

(

)

(

bo'lsin, (2.2.1)

qator koefisentlari quyidagicha aniqlangan bo'lsin:

m

i

a

k

m

i

y

b

a

k

i

k

m

i

k

i













p>m bo'lganda:

 







q

k

m

i

q

k

k

m

i

i

k

m

k

q

p

k

i

k

i

k

i

q

p

y

y

x

P

x

b

y

y

y

x

a

y

x

S

)

(

)

(

)

(

Bu qator

m

n



bo'lganda

m

n

x

P

n





)

(

bo'lganda



m

n

y

y

shartni

qanoatlantiruvchi sonlardan tuzilgan





}

{

n

n

y

x

G

, ketma-ketlikning barcha

nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'ladi.

)

(



x

P



m

y

y

shartni qanoatlantiruvchi barcha

)

(

'

y

nuqtalarda qator yaqinlashuvchi.

2.2.4-teorema:Agar (2.2.1) qator









n

n

y

x

Q

,

x

x

n



0

y

y

n



ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu qator





y

y

x

x





to’rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.

Qator





Q

y

y

x

x

E









to’plam tashqarisidagi nuqtada uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.

2.2.5-teorema: Agar (2.2.1)qator









n

n

y

x

Q

0

y

y

x

x

n



ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu qator





0

,

y

y

x

x





to’rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.

Qator





,

y

y

x

x



to’rtburchak tashqarisidagi nuqtada uzoqlashuvchi

bo’lishi mumkin.

Isbot:

(2.2.1) va (2.2.2) lemmadan

 

x

R



 

y

R



bo’lishi kelib chiqadi.(2.2.1)

teoremani qo’llasak (2.2.1) qator





y

y

x

x



to’rtburchakda absolyut

yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

(2.2.1) qator koeffitsiyentlari quyidagicha aniqlangan bo’lsin:









i

x

a

i

i









k

y

a

k

k

o





k

i

a

k

i

Bu qatorimiz teorema shartlarini qanoatlantiradi va

 





,

y

y

x

x

y

x





nuqtada

uzoqlashuvchi bo’ladi.

2.2.6-teorema:Agar (2.2.1) qator 2 ta











, y

x

Q

n

0

x

x

n



yoki







y

x

x

n











n

y

x

Q

y

y

x

m







yoki

0

y

y

n



ketma- ketliklarning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lsa, u

holda bu qator















,

y

y

x

x

to’rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.

Qator















,

y

y

x

x

to’rtburchak tashqarisida uzoqlashuvchi bo’lishi

mumkin.

(2.2.1) qatorda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi , mumkin bo’lgan

barcha









v

v

v

k

i

ketma- ketliklarni qaraymiz.





v

i

yoki





v

2) Agar





v

, u holda





v

. Bu shart

v

k

uchun ham o’rinlidir.

3)

v

v

v

k

i





lim

mavjud.

Har bir









v

v

v

k

i

ketma-ketlik uchun







,

v

k

i

k

i

v

v

v

v

y

x

a

qator hosil bo’ladi, bu yerda

v

i

k

a

v

- qatorning mos koeffitsiyentlari. 1) va 2)

shartlar bajarilganda oxirgi qatorni

x

o’zgaruvchiga bog’liq oddiy darajali qator

sifatida qaraymiz. Agar

lim











v

v

v

i

k

bo’lsa (



y

. tayinlangan)

Bu qatorning absolyut yaqinlashish sohasini Koshi-Adamar formulasidan

foydalanib topamiz:







y

k

i

R

y

a

y

a

x

v

v

v

i

k

v

i

k

i

v

i

k

k

i

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

lim

























v

v

v

i

k

i

v

v

v

v

a

k

i

R

lim







Quyidagicha belgilash kiritamiz.























y

k

i

R

x

k

i

G

v

v

v

v

Agar

lim











v

v

v

k

i

bo’lsa, u holda







0

v

k

i

k

i

v

v

v

v

y

x

a

qatorni

o’zgaruvchining darajali qatori sifatida qaraymiz. Bu qatorning

absolyut yaqinlashish sohasi







x

k

i

R

y

v

v



Bu yerda





v

v

v

k

k

i

v

v

v

a

k

i

R

lim







bu holda quyidagicha belgilash kiritamiz.























x

k

i

R

y

k

i

G

v

v

v

v









v

v

k

i

G

y

x





nuqtada







v

k

i

k

i

v

v

v

v

y

x

a

qatorning umumiy hadi nolga intilmasligi uchun u bu

nuqtada uzoqlashuvchi.





v

v

k

i

G

G





ning ichki nuqtalaridan iborat bo’lsa.

Download 0.94 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8