Matematika” kafedrasi Hamroyeva Muqaddas Bozorovnaning

 

 

 

38 

2.2 Karrali qatorlarning yaqinlashish to’plamlari. 

 

 

Quyidagi ikki o'zgaruvchili darajali qatorni qaraylik. 

k

i

k

i

k

i

y

x

a







0

,

,

  (2.2.1) 

 

2.2.1-teorema: 

 

Agar (2.2.1) qator 

)

,

(

0

0

y

x

 nuqtada yaqinlashuvchi va  

,

1

,

inf

lim

)

1

(

)

1

(

0

)

1

(

i

ik

i

k

k

k

a

R

R

R















 (2.2.2) 

 

 

2

0

2

inf

i

R

R

i









, 

 

k

k

i

k

i

a

R

,

2

lim

1







 (2.2.3.) 

 





,

,

min

0

1

1

x

R

x



 

 





0

2

1

,

min

y

R

y



 

bo'lsa,  u  holda  (2.2.1)  qator 

}

,

{

1

1

y

y

x

x





  to'g'ri  to'rtburchakda  absolyut 

yaqinlashuvchi bo'ladi. 

 

)

,

(

}

,

{

0

0

1

1

y

x

y

y

x

x

E









  to'plamdan  tashqarida  qator  uzoqlashuvchi 

bo'lishi mumkin. 

 

Isbot.  Agar 

0

1



x

  yoki   

0

1



y

  bo'lsa  teorema  o'rinli.  Bu  holatda  E  to'plam 

faqatgina 

)

,

(

0

0

y

x

  nuqtadan  iborat  bo'lib  qoladi,  teorema  shartiga  ko'ra  qator 

yaqinlashuvchi. 

 

0

,

0

1

1





y

x

  holatni  qarash  yetarli.  Bu  holda 

0

,

0

,

0

,

0

0

0

)

2

(

)

1

(









y

x

R

R

. 

(2.2.1)  qatorning 

)

,

(

0

0

y

x

  nuqtada  yaqinlashuvchanligidan  qator  umumiy  hadining 

bu nuqtadagi qiymati nolga intiladi, ya'ni 

0

lim

0

0

,

,







k

i

k

i

k

i

y

x

a

. 

 

Natijada,  shunday 

0

i

  va 

0

k

  natural  sonlar  topiladiki,  barcha 

0

i

i



  va 

0

k

k



 

sonlar uchun 







1

0

0

,

M

y

x

a

k

i

k

i

 (2.2.4) 

tengsizlik o'rinli bo'ladi. 

 

39 

 

1

2

1

2

,

y

y

x

x





 

(2.2.5)  shartni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy   

)

,

(

2

2

y

x

  nuqta 

olamiz. 

 

)

1

(

2

R

x



 va 

)

2

(

2

R

y



 tengsizliklar o'rinli bo'lganligi uchun 

0

0

2

2

0

0

2

2

0

,

;

0

,

i

i

y

a

x

k

k

x

a

y

k

k

in

n

i

i

in

n





















 

qatorlar yaqinlashuvchi, shuning uchun 

;

0

,

0

,

;

0

,

0

,

0

3

2

2

0

2

2

2

































k

i

i

M

y

x

a

i

k

k

M

y

x

a

k

i

ik

k

i

ik

 

shartlarni qanoatlantiruvchi 

2

M

 va 

3

M

 sonlar topiladi. 

 

Oxirgi  tengsizlikdan  va  (2.2.4)  tengsizlikdan 

M

y

x

a

k

i

ik



2

2

  kelib  chiqadi,  bu 

yerda 

}

,

,

max{

3

2

1

M

M

M

M



 . 

 

(2.2.1) qatorning barcha hadlari chegaralangan 

k

m

k

i

i

m

k

i

y

x

a







0

,

*

,

 

qator 

yaqinlashuvchi,  u  holda  shunday 

m

i

  va 

m

k

  natural  sonlar  topiladiki,  barcha 

m

m

k

k

i

i





,

 sonlar uchun 







m

i

m

i

m

k

i

M

y

x

a

*

,

 

(2.2.7) 

tengsizlik o'rinli bo'ladi. 

 

Shuning uchun 

1

lim

,

lim

*

,

*

,













i

k

i

i

m

i

i

m

i

m

k

i

i

a

x

y

x

a

 

xususan, 

0

m

m



 va 

m

k

k



 uchun 

i

k

i

i

m

a

x

*

,

lim

1







 

(2.2.8) 

Bundan va (2.2.6) tenglikdan 

)

1

(

0

)

1

(

0

)

1

(

inf

inf

k

k

k

k

k

R

R

R

m















 o'rinli bo'lishi kelib chiqadi. 

 

)

1

(

)

1

(

0

0

k

R

R

k





  tenglik  o'rinli  bo'ladigan  eng  kichik  indeks  bo'lsin. 

k

m

k

i

i

m

k

i

y

x

a







0

,

*

,

  qatorni  ng  yaqinlashuvchanligidan  bu  qatorning  xususiy  yig'indilari 

ketma-ketligi  

 

40 

)

,

(

),

,

(

,

1

,

m

m

p

p

m

m

p

p

y

x

S

y

x

S



 

teng chekli limitga ega bo'ladi. Shuning uchun 

)}

,

(

,

1

)

,

(

,

 

{

 

lim

m

y

m

x

p

p

S

m

y

m

x

p

p

S

p









, ya'ni 

0

}

{

0

*

,

*

1

,

*

0

,













p

m

p

p

m

p

p

p

m

y

a

m

y

a

a

x

  (2.2.9) 

}

{

*

,

0

0

k

i

a

 ketma-ketlik 

i

k

i

i

i

k

i

i

a

a

*

,

*

,

____

0

0

0

0

lim

lim











 shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik 

bo'lsin. 

0

*

,

0



k

i

v

a

  deb  hisoblash  mumkin,  (2.2.6)  tenglikdan 







)

1

(

)

1

(

0

R

R

k

  bo'lishi 

kelib chiqadi. 

 

(2.2.9) da mos ravishda 

p

i

v



 deyilsa, u holda 

0

}

...

{

*

,

*

,

*

,

*

1

,

*

,

*

0

,

*

,

0

0

0

0













v

i

m

k

i

i

i

m

k

i

i

k

i

i

k

i

i

m

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

y

a

a

y

a

a

a

a

a

x

 

(2.2.10) 

0

m

m



 uchun (2.2.6) tengsizlik bajariladi, ya'ni 

0

)

1

(

)

1

(

k

m

R

R

x





, shuning uchun 

1

lim

*

0







v

v

i

k

i

v

m

a

x

, va 

v

v

v

i

k

i

i

k

i

a

a

*

*

_____

0

0

lim

lim



. 

Natijada 

0

*

0





v

k

i

i

m

v

v

a

x



 

(2.2.11) 

 

(2.2.10) va (2.2.11) munosabatlardan 

0

m

m



 lar uchun  

0

0

*

*

0











v

k

m

i

k

k

i

k

i

y

a

a

v

v

v

 

(2.2.12) 

munosabat bajariladi. 

Quyidagicha belgilashlarni kiritamiz: 

k

m

i

k

k

k

i

k

i

i

k

m

k

k

k

k

i

k

i

i

k

m

k

k

k

i

k

i

i

y

a

a

C

y

a

a

B

y

a

a

A

v

m

v

v

v

m

v

v

v

v

v

v























1

*

*

1

*

*

0

*

*

0

0

0

0

0

;

;

 

(2.2.12) munosabatni yangi belgilashga ko'ra quyidagicha yozamiz: 

0











v

i

i

i

v

v

v

C

B

A

  (2.2.12*) 

 

Endi, 

0

,

0













v

i

v

i

v

v

C

B

 bo'lishini isbotlaymiz. 

 

41 

k

m

k

k

k

k

i

k

i

i

y

a

a

B

m

v

v

v









1

*

*

0

0

. 

0

k

k



 lar uchun 

)

1

(

)

1

(

0

k

k

R

R



 tengsizlik o'rinli, u holda 

1

lim

lim

lim

0

0

0

0

0

0

0

)

1

(

*

,

____

*

,

____

*

,

*

,

____



















k

k

i

k

i

v

i

k

i

v

i

k

m

k

i

k

i

v

R

R

a

a

y

a

a

v

v

v

 

shuning uchun 

m

v

k

m

k

i

k

i

k

k

k

y

a

a













1

,

0

0

*

,

*

,

0

0

0

 

bo'lganligi uchun  

0







v

i

v

B

 

(2.2.13) 

munosabat o'rinli bo'ladi. 

(2.2.7) tengsizlikni qo'llab, quyidagiga ega bo'lamiz: 

 

v

v

m

v

v

m

v

v

v

v

m

v

v

v

i

m

k

i

v

k

k

k

i

m

k

i

k

m

k

k

k

i

m

k

i

k

m

i

m

k

i

k

m

k

k

k

k

i

k

i

i

x

a

M

i

x

a

M

y

x

a

y

x

a

y

a

a

C

*

1

*

1

*

*

1

*

*

0

0

0

0

0

0

0



























. 

(2.2.6) tengsizlikdan foydalansak: 

 

1

lim

)

1

(

*

____

0

0









m

k

i

i

m

k

i

v

v

x

R

x

a

M

i

v

v

v

, 

hamda 

)

1

(

)

1

(

0

R

R

k



. Bundan 

0







v

i

v

C

 

(2.2.14) 

0

m

m



 uchun (2.2.12), (2.2.13), (2.2.14) munosabatlardan 

0

0

*

*

0













v

k

m

i

k

k

i

k

i

i

y

a

a

A

v

v

v

v

 

bo'lishi kelib chiqadi. 

Oxirgi munosabatdan tayin 

1

,

0

0



k

k

 darajali polinomlar ketma-ketligi 

,

1

,

,

2

,

1

,

0

0

0

0











k

m

m

m

m

m

y

m

 nuqtalarda nolga intiladi. Bundan polinomlar 

 

42 

ketma-ketligi koefisentlari nolga intiladi, ya'ni 

0

*

*

0

,

0

0

k

k

a

a

v

k

i

k

i

v

v











 xususan 

0

1

*

*

0









v

k

i

k

i

v

v

a

a

. 

 

Oxirgi munosabatdagi ziddiyatdan lemma isboti kelib chiqadi.