Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi mavzu

2.2 Koshi teoremasi (yaqinlashish prinsipi)
Ketma-ketlikning kachon chekli limitga ega bo'lishi haqidagi masala, yuqorida ta'kidlaganimizdek limitlar nazariyasining muhim masalalaridan biridir. Bu masalada monotonketma-ketliklar uchun hal kilingan. Tabiiyki, ixtiyoriy ketma-ketlikqanday shartda yakinlashuvchi bo'ladi degan savol tug'iladi. Bu savolga javob berishdan avval fundamental ketma-ketlik tushunchasi bilan tanishamiz.
Biror { } ketma-ketlik berilgan bo'lsin.
4.1-tarif : Agar Ɛ >0 olinganda ham shunday son mavjud bo'lsaki, barcha n> va barcha m> lar uchun
Ɛ
tengsizlik bajarilsa, {xl} fundamental ketma-ketlik deb ataladi.
Elementlari biror XR to`plamda f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),… (1) funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Bu ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deb ataladi va {f_n(x)} kabi belgilanadi. (1) ketma-ketlikda f_n(x) funksiya sha ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.
X to`plamdan x<sub>0</sub>єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblab, natijada f<sub>1</sub>(x<sub>0</sub>), f<sub>2</sub>(x<sub>0</sub>), …, f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
4.2-Ta`rif. Agar {f_n(x₀)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
4.3-Ta`rif. Agar {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin.
Aytaylik, X to`plam (XcR) {f_n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin. Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi. X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli
[0, )ning chekli limitini mos qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {f<sub>n</sub>(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi deyiladi:
=f(x) (3). Bu holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E>0 son hamda har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga bog`liq) topiladiki, barcha n>N uchun (4) tengsizlik bajariladi.
4.4-Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n₀ natural son topilsaki, barcha n>N uchun tengsizlik bajarilsa, {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis yaqinlashadi deyiladi.