Matematika va informatika fakulteti

1.11-ta’rif.Agar V vektor fazoda n ta chiziqlierklivektorlar mavjud bo‘lib, bundan ortiq sondagi chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lmasa, V vektor fazo n o‘lchamli fazo deyiladi. Vektor fazoning o‘lchami _dim(V) kabi belgilanadi.
Agar _V fazoda cheksiz ko‘p chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lsa, u holda _V fazo cheksiz o‘lchamli fazo deyiladi.

1
1.12-ta’rif. no‘lchamli V fazodagi n ta chiziqli erkli _{e , e2,..., en} vektorlar V fazoning bazisi deb ataladi.
1.2-Misol a) To‘g‘ri chiziqdagi vektorlar to‘plamida har qanday ikki vektor proporsional, ya’ni chiziqli bog‘liqdir. Demak, to‘g‘ri chiziq bir o‘lchamli fazoga misol bo‘ladi.
b) Tekislikda ikkita chiziqli erkli vector mavjud, ammo xar qanday uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bundan esa, tekislik ikki o‘lchamli vektor fazo ekanligi kelib chiqadi.
Bizga no‘lchamli V vektor fazo va uning biror bazisi berilgan bo‘lsin. teorema. n o‘lchamli V vektor fazoning ixtiyoriy elementini bazis

vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona ravishda ifodalash mumkin.

1

e
^{1.13-ta’rif.} e , e₂,..., e_n ^{vektorlar n o‘lchamli fazoning bazisi bo‘lib,} x_{1 1} ₂e₂ ..._ne_n

1
bo‘lsa, u holda _{1,2,...,n} sonlar x vektorning _{e , e2,..., en} bazisdagi

koordinatalari deb ataladi.

1
^{1.5-teoremaga muvofiq, ma'lum} e , e₂,..., e_n ^{bazisda xar bir vektor bir}

qiymatli aniqlanadigan koordinatalarga ega.

1
_Agar x _{va y vektor e , e2,..., en bazisda mos ravishda 1,2,...,n va} ₁,₂,...,_n ^{koordinatalarga ega bo‘lsa, ya’ni,}

e

e
x _{1 1} ₂e₂ ..._ne_n, y _{1 1} ₂e₂ ..._ne_n.


e
^Uholda x y ^vektor _{1 1,2 2,...,n n} ^{koordinatalarga ega bo‘ladi, ya’ni} x  y  (₁ ₁) ₁ (₂ ₂ )e₂ ...(_n _n )e_n,
Shunday qilib, x va y vektorlarni qo‘shishda ularning bir hil bazisdagi

koordinatalari yig‘indisi olinadi.

x vektorni  soniga ko‘paytirishda esa uning xar bir koordinatasi shu songa ko‘paytiriladi.

1

1

1
1.3-Misol a) Bizga V  R³ uch o‘lchamli haqiqiy vektor fazo berilgan bo‘lsin. ^{Bu fazoda} e  (1,0,0) ^, e₂  (0,1,0)^, e₃  (0,0,1) ^{vektorlar bazis tashkil qiladi va} ixtiyoriy _{x  (x ,x2,x3)} vektorning ushbu bazisdagi koordinatalari _{x ,x2 ,x3}
bo‘ladi.


n
b) _{V  P (t)} darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘lgan fazo

1
^{bo‘lsin. Bu fazoda} e 1, e₂  t, ..., e_n1  t^{n vektorlar to‘plami bazis tashkil}

n

1
qiladi, ya’ni _{dimP (t)  n1.} Ushbu bazisdaixtiyoriy _{f (t)  a0t}ⁿ _{ a t}^n1 _{ ... an}

1
ko‘phad koordinatalari uning _{a0, a , ..., an} koeffitsientlaridan iborat bo‘ladi.

n

1

 
Agar _{P (t)} fazoda boshqa bazis _e _{1, e2  t  a, ..., en1  (t  a)}ⁿ tanlasak, u

holda _{f (t)} ko‘phadning bu bazisdagi koordinatalarini topish uchun uni Teylor

qatoriga yoyiladi:


n!
f (t)  f (a)  f ^(a)(t a) ... ^{f (n) (a)}(t a)^{n .}

Demak, f(t) ko‘phadning

1

 
e^ 1, e₂ ta,..., e_n1 (ta)ⁿ


n!
_{bazisdagi koordinatalari f (a), f} _(a),..., ^{f (n)(a)} _{ko‘rinishida bo‘ladi.}

Ushbu mavzuda chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Bizga quyidagi chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini berilgan bo‘lsin:

1 1 1 1

1




_ a ₁x a ₂x₂ ...a _nx_n  0 _ a₂₁x a₂₂x₂ ...a_2nx_n  0

1


 ^{... ... ... ... ... ...} _a_m1x a_m2x₂ ...a_mnx_n  0



1

1 1
Ma’lumki, ushbu sistemaning matritsasini A va matritsaning ustunlarini v , v₂,..., v_n deb olsak, sistemani xv  x₂v₂ ... x_nv_n  0 yoki А X 0
₁X₁  ₂ X_{2 ham bu sistemaning echimi boʻladi. Demak chiziqli bir jinsli}

tenglamalar sistemasining echimlari toʻplami chiziqli fazo tashkil qiladi. ko‘rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda X noma’lumlardan iborat

bo‘lgan ustun vektor.

1.2 Vektorlarning umumiyxossalari
0

e

  

V₃ uch o’lchovli chiziqli fazo va uning e₁, e₂ , e₃ bazis vektorlari berilgan

   

a

  
bo’lsin, u holda ta’rifga ko’ra bu fazoning har bir aV₃ vektorini a  xe₁  ye₂  ze₃ ko’rinishda yozish mumkin. ^{x, y, zR} ifodani ^ ning e₁, e₂ , e₃ bazis vektorlar
bo’yicha yoyilmasi deyiladi.


2.1-teorema.Vektor fazoningixtiyoriyvektoritanlabolinganbazisvektorlarga

nisbatan yagona yoyilmaga ega.

a

  
Isbot. Faraz qilaylik, ^ vector bazis e₁, e₂ , e₃ vektorlar bo’yicha

   
a  xe₁  ye₂  ze₃

yoyilmadan tashqari, ikkinchi bir a  x^e₁  y e₂  z e₃ yoyilmaga ham ega

bo’lsin. (2.3) tenglikdan (2.4) tenglikni hadlab ayirib quyidagiga ega bo’lamiz



  
(x  x)e₁ (y  y)e₂ (z  z)e₃  0.

 1,

 

e₂ , e₃ vektorlar chiziqli erkli bo’lgani uchun: x  x^'  0, y y^' 0, z  z^'  0.

Bundan x  x^' , y  y^' , z  z^' demak, yoyilma yagona.

a

 
yoyilmadagi x, y, z haqiqiy sonlar ^ vektorning ( _1, e₂ , e₃ ) bazis vektorlarga


nisbatan koordinatalari deyiladi va a(x, y,z) ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib



1

   
_{a(x, y,z) } a  x e  y e₂  z e₃

Natija. Nol vektorning har qanday bazisga nisbatan koordinatalari nolga teng:

^ (0, 0, 0).

a
V₃ vektor fazoda ^ va

 b

 

vektorlar o’zining bazis ( _1, e₂ , e₃ ) vektorlariga

nisbatan ushbu koordinatalarga ega bo’lsin:



   
a(x₁, y₁,z₁)  a  x₁e₁  y₁e₂  z₁e₃



  



a

b
b(x₂,y₂,z₂) b  x₂e₁  y₂e₂  z₂e₃ 1. ^ va ^vektorlarni qo’shamiz (ayiramiz).

a b  (x₁e₁  y₁e₂  z₁e₃)(x₂e₁  y₂e₂  z₂e₃)

Bu tenglikdan vektorlarni qo’shish (ayirish) xossalariga ko’ra

a b  (x₁  x₂ )e₁ (y₁  y₂ )e₂ (z₁  z₂ )e_{3 .}






Bundan (a b) (x₁  x₂ ),(y₁  y₂ ),(z₁  z₂ ). Demak, ikki vektor yig’indisining (ayirmasining) koordinatalari qo’shiluvchi (ayriluvchi) vektorlar mos
koordinatalarning yig’indisidan (ayirmasidan) iborat.

а

a

p

a

p
2. ^ ning ^ songa ko’paytmasining, ya’ni ^{  } vektorning koordinatalari ^  ^(x,y,z) ^bo’ladi.

1-chizma
Masala: ABCD tetraedrning qirralaridan iborat AB, AC, AD larni bazis

vektorlar deb olib, BC ning shu vektorga nisbatan koordinatalarini toping.

Yechish AB  e₁, AC  e₂ va AD  e₃ belgilaymiz.


      
BC  AB  AC  e₂ e₁  e₁  e₂  (1)e₁ 1e₂  0e₃ BC (1; 1; 0) .






Misollar. a(3, 2, 1), b(1, 0, 2) va ^{c(1, 2, 0)} vektorlar berilgan.











^{a b, b c, 3a, a } ₂^{b 3c} vektorlarning koordinatalarini aniqlang.












Yechish a b  (3(1)); (2)0; (a b)(2; 2; 1); b c vektor

  


koordinatalar ^{(b c)(2;  2;  2); 3a(3;  2; 1)  a(9; 6; 3);}


2 2

2 2
p  (a  ¹b 3c)(3 ¹ 3;  2 ¹ 032; 1 ¹ (1) 30)



bundan ^{p( 1, 8, 0)}