Matematika va informatika fakulteti

3.2-TA’RIF: Agar a va b vеktorlar orasidagi burchak =90⁰ bo‘lsa, ular ortogonal vеktorlar dеyiladi.
Kelgusida a va b vеktorlarning orthogonalligini ab kabi belgilaymiz. Masalan, oldin kiritilgan i, j va k ort vеktorlar o‘zaro ortogonal, ya’ni ij, ik va jk bo‘ladi.
3.1-TЕORЕMA: Noldan farqli a va b vеktorlar ortogonal bo‘lishi uchun ularning skalyar ko‘paytmasi ab =0 bo‘lishi zarur va yеtarli.
Isbot: Dastlab teorema shartini zaruriyligini ko‘rsatamiz: ab=90⁰ a·b = |a|·|b|сos90⁰ =|a|·|b|0=0;
Endi teorema shartini yetarli ekanligini ko‘rsatamiz:

a·b = |a|·|b|сos=0 , |a| ≠0 , |b|≠0 сos=0 φ=90⁰ ab .

20

Skalyar ko‘paytmaning koordinatalardagi ifodasi.

Oldingi mavzuda koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida songa ko‘paytirish, qo‘shish va ayirish amallari oson bajarilishini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu masalani vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun qaraymiz. Tekislikda koordinatalari bilan berilgan a =(х₁, у₁) va b=(х₂, у₂) vеktorlarning skalyar ko‘paytmasini topamiz. Skalyar ko‘paytmaning 2-xossasi va yuqoridagi teoremadan ortlar uchun ushbu tengliklar o‘rinli ekanligini ko‘ramiz:
i·i =|i|² =1, j·j =|j|² =1, i·j= j·i =0 .

Endi a =(х₁, у₁) va b=(х₂, у₂) vеktorlarning yoyilmasi hamda skalyar ko‘paytmaning 3 va 4 - xossalaridan foydalanamiz:
a·b = (х₁i+ у₁ j)· (х₂ i+ у₂ j)= х₁х₂ i·i+ х₁у₂ i·j + у₁х₂ j·i + у₁у₂j·j = = х₁х₂1+ х₁у₂0+ у₁х₂0+ у₁у₂1= х₁х₂+ у₁у₂.

Demak

ya’ni vеktorlarning

a·b = х₁у₂+ у₁у₂

skalyar ko‘paytmasi ularning mos

(2)

koordinatalari

ko‘paytmalarining yig‘indisiga tеng bo‘ladi.

Masalan, a=(3,6) vаb=(5,-2) vektorlarning skalyar ko‘paytmasi a·b =х₁у₂+у₁у₂=35+6(–2)=15–12=3.
Xuddi shunday tarzda fazodagi a=(х₁, у₁, z₁) vаb=(х₂, у₂, z₂) vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun
a·b = х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂ (3) formula o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.
Skalyar ko‘paytmaning tatbiqlari. Endi skalyar ko‘paytmaning tatbiqlari sifatida quyidagi masalalarni ko‘ramiz.
3.1-masala. Fazoda koordinatalari bilan berilgan a=(х, у, z) vеktorning modulini toping.
Yechish. Skalyar ko‘paytmaning 2- xossasiga va (3) formulaga asosan

|a|² =a·a=хх+уу+zz =х²+у²+z² |a|= x²  у²  z² . (4)

21

Masalan, a=(3,4,12) vеktorning moduli

|a|= 3²  4² 12²  9 16 144  169 13.

(4) formulada z=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(х, у) vеktorning moduli

|a|= x²  у²

formula bilan hisoblanishini ko‘ramiz.

3.2-masala. Fazodagi koordinatalari bilan berilgan a=(х₁, у₁, z₁) vаb=(х₂, у₂, z₂) vеktorlar orasidagi  burchakni toping.
Yechish. Skalyar ko‘paytma ta’rifi (1), (3) va (4) formulalarga asosan

сos  ^{х1х2  у1у2  z1z2} _{. (5)} x₁  у₁  z₁ x₂  у₂  z₂

Masalan, a=(1,0,1) vаb=(0,1,1) vеktorlar orasidagi  burchak uchun

2
сos  ^{10  0111}  ¹ 1²  0² 1² 1²  0² 1²

natijani olamiz va undan =60⁰ ekanligini topamiz.

(5) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(х₁, у₁) va b=(х₂, у₂) vеktorlar orasidagi  burchak
сos  ^{х1х2  у1у2}
x₁  у₁ x₂  у₂

formula bilan topilishini ko‘ramiz.

3.3-masala. a=(х₁, у₁, z₁) vаb=(х₂, у₂, z₂) vеktorlarning ortogonallik shartini toping.
Yechish. ab bo‘lgani uchun ular orasidagi burchak =90⁰ bo‘ladi va shu sababli соs=0. Unda (5) formuladan х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂ = 0 (6) tеnglikni hosil qilamiz. Bu ikki vеktorning ortogonallik shartidir.
Masalan, a=(3,–2,1) vаb=(5,7, –1) vеktorlar ortogonaldir, chunki х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂ = 35+(–2)7+1(–1) = 15–14–1=0.
(6) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(х₁, у₁) va

b=(х₂, у₂) vеktorlarning ortogonallik shartini topamiz: х₁х₂+у₁у₂= 0
3.4-masala. Fazodagi А(х₁,у₁,z₁) vа В(х₂,_,у₂, z₂ ) nuqtalar orasidagi d masofani toping.
Yechish. Bu nuqtalarni kеsma bilan tutashtirib, boshi А(х₁,у₁,z₁) nuqtada va uchi В(х₂,_,у₂, z₂ ) nuqtada bo‘lgan a vеktorni hosil qilamiz. Ma’lumki, bu vеktorning koordinatalari uning uchi bilan boshi koordinatalari ayirmasiga tеng bo‘ladi, ya’ni a=(х₂х₁, у₂у₁, z₂z₁). Unda d=|a| va, (4) formulaga asosan,
d  (x₂  x₁)²  (у₂  у₁)²  (z₂  z₁)² (7)

tеnglikka ega bo‘lamiz.

Masalan, A(5, –3,1) va B(8,1,13) nuqtalar orasidagi masofa

d  (85)²  (1(3))²  (131)²  916144  169 13

bo‘ladi.

(7) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan A(х₁, у₁) va B(х₂, у₂) nuqtalar orasidagi d masofa uchun
d  (x₂  x₁)²  (у₂  у₁)²

formula o‘rinli bo‘lishini ko‘ramiz.

3.5-masala. Korxona ishlab chiqarayotgan mahsulotlar tannarxi (z_i) va hajmi (q_i) bo‘yicha ma’lumotlar quyidagi jadvalda keltirilgan:

XULOSA
Ma’lumki, matematika fazoviy shakllar va miqdoriy munosabatlarni o’rganishga bag’ishlangan fan bo’lib, bunda ko’proq e’tibor miqdoriy munosabatlarga qaratiladi. Lekin inson real borliqda yashar ekan har qadamda tekis va fazoviy shakllarga ro’baro keladi. Agar u ana shu uchraydigan shakllar haqida ma’lumotlarga ega bo’lsa, o’z hayotiy rejasini tuzishi va jamiyatda o’z o’rnini topishi ancha osonlashadi.
Shu nuqtai nazardan qaraganda, boshlang’ich, umumiy o’rta ta’lim maktablarida, akademik litsey va kasb hunar kollejlarida hamda oliy o’quv yurtlarida yoshlarga geometrik figuralar to’g’risida bilimlarni berish barkamol avlodni voyaga yetkazishda muhim rol o’ynaydi. Garchi bunda yoshlardan geometriyaning barcha yutuqlarini mufassal bilish talab qilinmasada, real hayotda uchrab turadigan bilimlarni egallashi maqsadga muvofiqdir. Shuning uchun bolsa kerak boshlang’ich sinflarda o’quvchilar nuqta, to’g’ri chiziq, kesma, aylana, kubik va hakozolar bilan tanishtirilsa, umumiy o’rta ta’lim maktabiga o’tganda o’quvchilar tasavvuri kengaytirilib, geometrik shakllar yuzalari, uzunliklari, hajmlari va umumiy xossalari o’rgatiladi. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida esa o’quvchilardagi bilim va ko’nikmalar mustahkamlanib, fazoviy shakllar yasash usullari, xossalari o’rgatilib, ular to’g’risidagi umumiy ma’lumotlar beriladi. Oliy o’quv yurtlarida analitik geometriya kursida geometrik shakllarning xossalari, qurish yo’llari va tenglamalari o’rgatiladi.
Yuqoridagilardan kelib chiqib biz quyidagalarni bajarish maqsadga muvofiq deb o’ylaymiz:
1. Umumiy o’rta ta’lim maktablarida darsdan tashqari vaqtda ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma’lumotlar, ularning qurish usullari va xossalarini o’rgatish;
2. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida o’quvchilarga darsdan tashqari vaqtlarda 2- va 3-tartibli chiziqlar haqidagi ma’lumotlar, qurish usullari va ularni turli xossalarini o’rgatish.


Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Islom Karimov. «Barkamol avlod orzusi». Sharq nashriyot-matbaa konserni bosh tahririyati. Toshkent-1999.
2. Islom Karimov. «Bizdan ozod va obod Vatan qolsin». 2-tom. «O’zbekiston» nashriyoti, 1966.
3. O’zbekiston konstitutsiyasi biz uchun demokratik taraqqiyot yo’lida va fuqarolik jamiyatini barpo etishda mustahkam poydevordir. Prezident Islom Karimovning O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 18 yilligiga bag’ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruzasi. «Xalq so’zi», 2010 yil, 6-dekabr.
4. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining Qarori. «Barkamol avlod yili» davlat dasturi to’g’risida,2010 yil,27-yanvar.
5. А.А. Савелов «Плоские кривые». Mосква-1960.
6. А.Б.Посмиков «Лекции по геометрии» Москва-1983.
7.A.V. Pogarelov «Analitik geometriya». Toshkent-1983.
8. А.С.Смогоржевский, Е.С. Столова «Справочник по теории плоских кривых третьего порядка». Mосква-1961.
9. Г.М.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегральное исчисления» Т.1. Москва-1960.
10. N. Dadaxonov va boshqalar «Geometriya». Toshkent-1989.
11. J. Po’latova «3-tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini soddalashtirish va sinflash». Bitiruv malakaviy ishi. Farg’ona-2009.
12. http://ru.wikipediya.org.