Matematika va Informatika

Ta‘rif. Istalgan s> 0 son uchun shunday S> 0 son mavjud bo’lsak |x -a|

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b| <s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x a dagi) limiti deb ataladi.

Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a —, a + ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (b — s, b + s) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

2-misol:

=2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang

Yechish: f(x)= funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida masalan (4;6) intervalda qaraylik.

Ixtiyoriy s>0 sonni olib

|f (x) - b|

====

x>4 ekanini hisobga olsak =x>4 bo’lib

< kelib chiqadi. Bundan ko’rinib turibdiki = 4s deb olsak, u holda 0 <| x - 5 |< tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x(4;6) uchun

< tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni = funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta’rif: Istalgancha katta M>0 sonni olsak =>M tenksizlik < bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar

deb olinsa, < tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun >M yoki >M tengsizlik bajariladi. Bu esa x funksiya cheksizlikga intilishini bildiradi ya’ni

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta’rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta

qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)-b< tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x dagi limiti deb ataladi va bu

kabi yoziladi.

3-misol:



Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan >0 sonni olsak

bo’lib N= desak, barcha uchun <= tenksizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f(x)= funksiyaning xdagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta’rif. Agar f (x) funksiya хning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x) >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x da cheksizlikka

intiladi deyiladi va kabi yoziladi.

4-misol.

ekani isbotlansin.

Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib >M tengsizlikni tuzamiz. bundan kelib chiqadi. N= deb olinsa, >N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun =M tengsizlik bajariladi. Bu ekanini bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi