Matematikadan yuzalarning nostandart birliklari haqida ma'lumotga EGA bo'lish mashhur qadimiy masalalar

Uchburchak (6.1. shakl, ). Uchburchak yuzasini ikki tomon S₁ va S₂ hamda ular orasidagi β₂ burchak orqali aniqlash mumkin. 6.1. shakl, dan ma’lumki,
2R=S₁h, bu yerda h = S₂ sinβ₂ .
h - qiymatini (6.1.1.) ga qo‘yib, hosil qilamiz
2R=S₁S₂sinβ₂. (6.1.2.)
Geometrik shakllar va ularning elementlari.
To‘rtburchak. Uzunligi ma’lum to‘rt tomon S₁, S₂, S₃, S₄ va ikki qarama - qarshi burchaklar β₁ va β₂ (6.1. shakl, b) bo‘yicha, (6.1.2) formula asosida quyidagicha yozamiz
2R=S₁S₂sinβ₂+S₃S₄sinβ₄. (6.1.3)
Beshburchak. Uzunligi ma’lum besh tomon va uch burchak β₂, β₄ va β₅ bo‘yicha (75 - shakl, v), (6.1.2) formula asosida hosil qilamiz
2R = S₁S₂ sinβ₂ + S₃S₄ sinβ₄ + S₄ S₅ sinβ₅ + S₃ S₅ sin(β₄+β₅ -180⁰).
Oltiburchak (75 - shakl, g). Olti tomon va to‘rt burchaklar β₂, β₃ , β₅, β₆ bo‘yicha (6.1.4) formula asosida topamiz
2R = S₁S₂ sin β₂+S₂ S₃ sinβ₃+S₁S₃ sin(β₂+β₂ - 180⁰)+S₄ S₅ sinβ₅+

+S₅S₆sinβ₆+S₄S₆sin(β₂+β₆- 180⁰). (6.1.5)
Ushbu ko‘rinishdagi formulalarni har qanday n - burchaklar uchun hosil qilish mumkin. Lekin uchlar soni oshirishi bilan, formuladagi qo‘shilmalar soni progressiya tariqasida oshirib boradi, shuning uchun n > 5 bo‘lganda yuzalarni poligon uchlarining koordinatalari bo‘yicha aniqlash formulasidan foydalanish tavsiya etiladi
Demak, parallelogrammning yuzi uning tomonini shu tomonga tushirilgan balandligiga ko‘paytirilganiga teng. ABC uchburchak berilgan bo‘lsin. Bu uchburchakni chizmada ko‘rsatilganidek ABCD parallelogramga to‘ldiramiz. Parallelogramning yuzi ABC va BDC uchburchaklar yuzlarining yig‘indisiga teng. Bu uchburchaklar teng bo‘lgani uchun (2-chizma) parallelogramning yuzi ABC uchburchak yuzining ikkilanganiga teng. Parallelogrammning AC tomoniga mos balandligi ABC uchburchakning AC tomoniga o‘tkazilgan balandligiga teng. Demak, uchburchakning yuzi uning tomoni bilan shu tomonga tushirilgan balandligi ko‘paytmasining yarmiga teng:
ABCD berilgan trapetsiya bo‘lsin (3-chizma). AC diagonalni o‘tkazamiz.AC diagonal ABCD trapetsiyani ikkita ABC va ACD uchburchakka ajratadi.Trapetsiyaning yuzi shu uchburchaklar yuzlarining yig‘indisiga teng. Uchburchaklarni mos ravishda AE va CF balandliklarini o‘tkazamiz.
Demak, trapetsiyaning yuzi, uning asoslari yig‘indisi yarmi bilan balandligi ko‘paytmasiga teng.
ABCD berilgan romb bo‘lsin. (4-chizma). AC va DB diagonallarini o‘tkazamiz. ABCD rombni ADB va DBC uchburchaklarga ajratamiz. ABCD rombning yuzi ADB va DBC uchburchaklar yuzlarining yig‘indisiga teng. AO va OC bu uchburchaklarning balandliklari.
DB, AC rombning diagonallari. Dmak, rombning yuzi uning diagonallari ko‘paytmasining yarmiga teng ekan.

21. Yuz. To‘g‘ri to‘rtburchak va kvadrat yuzi formulalari Quyidagi rasmda tasvirlangan shokolad nechta kvadratcha ko‘rinishidagi bo‘lakchalardan iborat? 21. 1. Yuz haqida tushuncha Ko‘pgina amaliy masalalarda biror yer maydoni, devor, pol yuzini o‘lchashga to‘g‘ri keladi. Bunday hollarda oldin yuz o‘lchov birligini tanlash lozim bo‘ladi. Yuz o‘lchov birligi sifatida tomoni uzunlik birligiga teng bo‘lgan kvadrat olinadi. Masalan, agar tomoni 1 m ga teng kvadrat olinsa, yuz o‘lchov birligi 1 m 2 (1 kvadrat metr) bo‘ladi. Agar tomoni 1 sm ga teng bo‘lgan kvadrat tanlansa, yuz o‘lchov birligi 1 sm 2 (1 kvadrat santimetr) bo‘ladi.

Biror shaklning yuzini hisoblash deganda, uni nechta birlik kvadrat bilan qoplash mumkinligini topish tushuniladi. Masalan, 1 - rasmda tasvirlangan shakl, yuzi 1 sm 2 ga teng bo‘lgan 10 ta kvadratlardan iborat. Demak, uning yuzi 10 sm 2 ga teng bo‘ladi. 21. 2. To‘g‘ri to‘rtburchak yuzi 2 - rasmda tasvirlangan to‘g‘ri to‘rtburchakni qaraydigan bo‘lsak, u 6 ta ustundan iborat bo‘lib, har bir ustun tomonlari 1 sm ga teng bo‘lgan 3 ta kvadratdan iborat. To‘g‘ri to‘rtburchak esa 6 • 3 = 18 ta birlik kvadratlardan tashkil topgan. Demak, to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi 18 sm 2 ga teng.

To‘g‘ri to‘rtburchak yuzini topish uchun uning bo‘yini eniga ko‘paytirish kerak. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini - S, bo‘yini - a, enini esa - b harflari bilan belgilasak, S = ab ko‘rinishidagi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Ma'lumki, kvadrat tomonlari teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakdir. 3 - rasmda tasvirlangan kvadratning tomoni 5 sm ga teng. U 5 • 5 = 25 ta birlik kvadratdan iborat. Demak, uning yuzi 25 sm 2 ga teng. Kvadrat tomonlarini a deb belgilasak, kvadratning yuzi S = a 2 formula bilan ifodalanadi.

Birining ustiga ikkinchisi qo‘yilganda ustma-ust tushadigan shakllar teng shakllar deb ataladi. Teng shakllarning yuzi ham teng bo‘ladi. 4 - rasmda yuzi 20 sm 2 ga teng bo‘lgan ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak tasvirlangan. Uni MN kesma ikkita ABNM va MNCD to‘g‘ri to‘rtburchakka ajratadi. Birinchi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi 8 sm 2 ga, ikkinchisiniki esa 12 sm 2 ga teng. Shu bilan birga 20 = 8+12. Demak, quyidagi xossaga egamiz: Shaklning yuzi uni tashkil qilgan qismlari yuzi yig‘indisiga teng. 5 - rasmda AC kesma ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakni ikkita teng uchburchakka ajratadi. Demak, har bir uchburchak yuzi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzining yarmiga teng.

Savollarga javob bering! 1. Yuz o‘lchov birligi sifatida nima olinadi? 2. Shaklning yuzi deganda nima tushuniladi? 3. To‘g‘ri to‘rtburchak yuzini topish formulasini yozing. 4. Qanday shakllar teng deyiladi? 5. Teng shakllar yuzi haqida nima deyish mumkin? 6. Bo‘laklari yuziga ko‘ra butun shakl yuzi qanday topiladi?

Uchburchakning yuziYuza:Figuraning tekislikdagi egallagan o‘rnining o‘lchovi yuzadeyiladi. Yuza m2, cm2yoki mm2larda o‘lchanadi. Undantashqari yuza o‘lchovlarini quyidagicha almashtirish mumkin.1 sotix = 100 m21 gektar = 100 sotix = 10000 m2Uchburchakning yuzasi:Uchburchakning yuzasini topishuchun, uchburchakning asosiga tushirilgan balandligini shuasosga ko‘paytmasining yarmini hisoblash kerak.abchchahbS=a⋅ha2=b⋅hb2=c⋅hc2Misol:Teng yonli uchburchakning yon tomonlari 5 ga asosi 8 ga teng.Shu uchburchakning yuzini toping.Yechilishi:Uchburchakning asosiga tushirilgan balandligi asosini tengikkiga bo‘ladi
Geron formulasi: Uchta tomoni berilgan uchburchakningyuzini topish uchun Geron formulasini ishlatish qulayhisoblanadi.abcp=a+b+c2S=√p(p−a) (p−b) (p−c)Misol:Uchburchakning tomonlari 7, 8 va 9 ga teng. Shu uchburchakning yuzini toping
To'rtburchak Bu qarama-qarshi tomonlari teng va barcha to'rtta burchaklari teng bo'lgan to'rtburchak.
To'rtburchaklar bir-biridan faqat uzun tomonning qisqa tomoniga nisbati bilan farq qiladi, lekin barcha to'rtta burchak to'g'ri, ya'ni har biri 90 daraja.
To'rtburchakning uzun tomoni deyiladi to'rtburchak uzunligi, va qisqasi to'rtburchaklar kengligi.
To'rtburchakning tomonlari ham uning balandligidir.
To'rtburchakning asosiy xossalari
To'rtburchak parallelogramm, kvadrat yoki romb bo'lishi mumkin.
1. To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari bir xil uzunlikka ega, ya'ni ular teng:AB=CD, BC=AD
To‘g‘ri to‘rtburchak yuzini topish uchun uning bo‘yini eniga ko‘paytirish kerak. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini - S, bo‘yini - a, enini esa - b harflari bilan belgilasak, S = ab ko‘rinishidagi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Ma'lumki, kvadrat tomonlari teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakdir. 3 - rasmda tasvirlangan kvadratning tomoni 5 sm ga teng. U 5 • 5 = 25 ta birlik kvadratdan iborat. Demak, uning yuzi 25 sm 2 ga teng. Kvadrat tomonlarini a deb belgilasak, kvadratning yuzi S = a 2 formula bilan ifodalanadi.
Shundan kеyin, to`g`ri to`rtburchakning bo`yi va eni o`lchanadi. Dеmak, 7 soni to`g`ri to`rtburchakdagi qatorlar sonini, 5 – soni ega ustunlar sonini ifodalaydi. Bundan tashqari bu sonlar kvadrat santimеtrlarni ham bildiradi.
Bir qancha mashqlar bajarish natijasida o`quvchilar to`g`ri to`rtburchakning yuzini hisoblash uchun uning bo`yi va enining uzunliklarini o`lchash va topilgan sonlarni ko`paytirish еtarli ekanini payqab oladilar.
Mashqlar:1) 16 sonini 2 ta sonning ko`paytmasi shaklida ifodalang.
2) Agar to`g`ri to`rtburchakning tomonlari 4 sm va 5 sm bo`lsa, uning yuzini toping.
 3) Yuzi 16 kv. sm bo`lgan turli to`g`ri to`rtburchaklar chizing, uni bo`yang yuzini hisoblang.
 4) Tomonlari 4 sm va 5 sm bo`lgan to`g`ri to`rtburchak chizing, yuzini hisoblang.
Kvadrat dеtsimеtr tushunchasini asoslash uchun o`qituvchi gazеta, stol, parta yuzlarini hisoblashni o`quvchilarga taklif qilish mumkin. Bularni kv. sm da hisoblash ancha qiyin bu holda kattaroq o`lchov dеtsimеtrlardan foydalanib, yuzlarini o`lchashning yangi birligi kvadrat dеtsimеtr tushunchasi kiritiladi.
Kvadrat dеtsimеtr so`zi tahlil qilinib, o`quvchilar uning tomonlarining uzunliklari 1 dm bo`lgan kvadrat ekanini aniqlaydilar. O`qituvchi tomoni 1 dm bo`lgan kvadrat chizishni, uni kvadrat santimеtrlarga bo`lishni va kvadrat dеtsimеtrning yuzini kvadrat santimеtrlarda topishni o`quvchilarga taklif qiladi va 1 kvxdm=100 kvxsm ekanligi aniqlanadi.
Yuzini topish qoidasi qo`llaniladigan mashqlar tizimi bajariladi:
1. Darslik muqovasining bo`yi va enini o`lchang va uning yuzini toping. Yuzni kv. dm da ifodalang.
Shaklning yuzi haqidagi umumiy tasavvurlarni shakllantirishdan oldin o`quvchilarda kеsmalarni taqqoslash, «katta», «kichik», «tеng» munosabatlarini qanday o`zlashtirishlarini aniqlash muhimdir. Bu ish o`quvchilarda shakllarni taqqoslash va prеdmеtlarni yuzlari bo`yicha taqqoslash ishlari bir – biridan farq qilishi haqida aniq tasavvurlar hosil qilishga imkon bеradi. Dastlab quyidagicha mashqlarni amaliy bajarish kеrak: katakli qog`ozga turli shakllar chizing va qirqing. Bu shakllarni taqqoslang.
Boshlang‘ich sinflar dasturida matematik material bilan uzviy bog‘liqlikda turli kichik hisob-kitob ishlarini o‘rganish nazarda tutiladi. Bularsiz tabiatni, borliq olamni o‘rganish mumkin emas. Matematik hossalarda turli obyektlarning va dunyodagi turlicha ko`rinish xossalari aks etgan.
Boshlang‘ich maktabda bolalarga uzunlik, yuza, sig‘im, massa, vaqt haqida dastlabki tasavvurlar beriladi.
Har bir miqdorni o‘rganish uslubiyotining o‘ziga xos hususiyatlari mavjud bo‘lsada, biroq narsa yoki hodisaning hossalarini o‘rganishga umumiy yondashish miqdorlarni o‘rganishning umumiy uslubiyoti haqida chiniqish imkonini beradi. Bu uslubiyot asosida amaliy usul yotadi. Narsalar bilan ishlash asosida aniq xissiy qabul qilish qobiliyatiga tayanib, kichik yoshdagi maktab o‘quvchilarini miqdorlar uchun umumiy bo‘lgan xossalar bilan tanishtirish.


Davlat ta'lim standard o'quvchilarning har biriga ta'lim olishda teng imkoniyatlarni yaratib berish,har birining yuqori natijaga erishishlarini rag'badlantirish va shu orqali o'quv- bilim jarayoning farqli tashkil etilishini ta'minlash uchun da'vat etilga. Davlat ta'lim standarlarining o'quv fani bo'yicha, ta'lim sohalari bo'yicha ishlab chiqarilishi o'quv fanlarining variantini tanlash asosida o'quv metodik majmualar, jumladan, boshlang'ich sinflarda matematika o'qitishni takomilashtirishni nazarda tutadi. Boshlang'ich matematik amallar bajarishni o`rganish va bilimlarni muvofiqlashtirish tamoyili asosida o'quv fanlarining ichki bog'liqligi va o'quv fanlari aro uzviylikni ta'minlashga xizmat qiladi. Boshlang'ich sinflarda matematik amallar bajarish talablarining o'quvchilar tomonidan bajarilishi ularning tevarak zarur bilim, malaka va konikmalarni egallashlariga yordam beradi.