Materik fazoda yaqinlashish to`la metrik fazolar

5-§ Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar

5.1. Uzluksiz akslantirish, misollar. (X,_X) va (Y,_Y) metrik fazolar bo’lib, T:XY akslantirish berilgan bo’lsin.
1-ta’rif. Agar M to’plamdagi x₀ nuqtaga X da yaqinlashuvchi bo’lgan ixtiyoriy {x_n}M ketma-ketlik uchun ushbu Tx_nTx₀ munosabat Y da bajarilsa, u holda T akslantirish x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 soni uchun shunday >0 son topilib, _X(x₀,x)< shartni qanoatlantiruvchi barcha xX lar uchun _Y(T(x₀),T(x))< tengsizlik bajarilsa, u holda T akslantirish x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
3-ta’rif. Agar b=T(x₀) nuqtaning ixtiyoriy V atrofi uchun X fazoda x₀ nuqtaning T(U)V shartni qanoatlantiruvchi U atrofi mavjud bo’laversa, T akslantirish x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu uchala ta’rifning teng kuchliligi, yoki boshqacha aytganda ekvivalentligi matematik analiz kursidagi funksiya uzluksizligi kabi isbotlanadi.
Misol. C[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T:xx(1) akslantirish ixtiyoriy a «nuqta»da uzluksiz bo’ladi, bu erda x va a «nuqtalar» [0;1] kesmada uzluksiz funksiyalar.
Haqiqatan, >0 son berilgan bo’lsin. U holda = deb olamiz. Endi _C(a,x)= |x(t)–a(t)|, _R(Ta,Tx)=|x(1)–a(1)|  _C(a,x) bo’lganligi sababli, _C(a,x)< shartdan _R(Ta,Tx)< tengsizlikning kelib chiqishi ravshan.
C₁[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T:xx(1) akslantirish (t)0 nuqtada uzluksiz emas.
Haqiqatan, x_n(t)=tⁿ ketma-ketlik C₁[0;1] fazoda (t)0 funksiyaga yaqinlashadi, lekin Tx_n= x_n(1)=1, T=0, demak (Tx_n) ketma-ketlik T ga yaqinlashmaydi.
4-ta’rif. Agar T o’zining aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, u holda T uzluksiz akslantirish deyiladi.
Xususan Y=R bo’lgan holda, uzluksiz akslantirish uzluksiz funkstional deyiladi.
S[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T(x)=x(1) akslantirish uzluksiz funkstionalga misol bo’ladi.