Math Education Presentation Skeleton in a Colorful Geometric Style

---

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA
O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT
DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
BOSHLANG
ʻICH TA’LIM FAKULTETI
BOSHLANG
ʻICH TA'LIM YO’NALISHI
Oliy matematika fanidan
Mustaqil ta
ʼlim
Ochilova Nilufar 

---

Reja: 
1. Sonli ketma-ketlik. 
2. Ketma-ketlikning limiti. 
3. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning
xossalari. 
4. Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish. 
Mavzu: 
Sonli ketma-ketlik va uning
limiti. 
 

---

Sonli ketma-ketlik.
Ta’rif. Aniqlanish sohasi natural sonlar to’plami 
dan iborat bo’lgan f(n) sonli
funksiya sonli ketma-ketlik deyiladi. 
f(1)=x1, f(2)=x2, ... , f(n)=xn, … desak, x1, x2, …,
xn, … sonli ketma-ketlikka ega
bo’lamiz. 
x1- ketma-ketlikning 1-hadi, x2-2-hadi, ... , xn- n -
hadi yoki umumiy hadi deyiladi.
Ketma-ketlik (xn) orqali , ba’zi adabiyotlarda esa
{xn} orqali belgilanadi.

---

Ketma-ketlikning limiti. 
Bizga (xn) ketma-ketlik berilgan bo’lsin. 
Ta’rif. Agar har bir >0 son uchun shunday n0 mavjud bo’lib, n>n0 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha n larda |xn-a|< tengsizlik o’rinli
bo’lsa, u holda a
son (xn) ketma-ketlikning limiti deyiladi. 
a limitga ega bo’lgan ketma-ketlik yaqinlashuvchi (a ga intiluvchi) ketma-
ketlik,
aks holda uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Limit
n
lim xn=a, lim xn=a yoki xn a ko’rinishlarda belgilanadi.

---

Demak,
n
lim xn=a 0 0 0 ( ) :
def 
n n n n x a
(a- ; a+ ) interval a nuqtaning - atrofi deyiladi. 
Ravshanki, |xn-a|< - Endi ketma-ketlik limitining boshqacha ta’rifini keltirib
chiqaramiz: 
Ta’rif. Agar a nuqtaning ixtiyoriy - atrofi uchun biror n0
nomerdan boshlab (xn)
ketma-ketlikning barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, u
holda a soni (xn) ketma ketlikning limiti deyiladi. 

---

Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega. 
Isbot. Faraz qilaylik (xn) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo’lsin,
bunda aHaqiqiy sonlar to’plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son
mavjud bo’lib, abo’ladi. 
n
lim xn=a, an
lim xn=b, b>r 
bo’lganligi uchun biror n2 nomerdan boshlab xn>r bo’ladi.
n0=max{n1,n2} deb olsak, n>n0 
larda xnr kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik
farazimizning noto’g’ri ekanligini
ko’rsatadi

---

Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish. 
1. Agar barcha n lar uchun xn=yn bo’lib,
n
lim xn=a,
n
lim yn=b bo’lsa, u holda a=b 
bo’ladi. 
Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun xn>yn bo’lib,
n
lim xn=a,
n
lim yn=b bo’lsa, u holda a b 
bo’ladi. 
Isbot. Faraz qilaylik a>b bo’lsin. a va b sonlar orasida r son olsak,
a>r>b,
n
lim xn=a, a>r bo’lgani uchun biror n1, nomerdan boshlab xn>r,
n
lim yn=b, buchun biror n2 nomerdan boshlab ynolsak, n>n0 larda xn>r 
va ynyn bo’ladi. Bu qarama-qarshilik
farazimizning noto’g’ri

---

Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari. 
Ta’rif. Agar
n
lim n=0 bo’lsa, u holda ( n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor 
yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Agar
n
lim xn =a bo’lsa, u holda n=xn-a cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Haqiqatan,
ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan har bir >0 uchun n0 natural son topilib, n>n0 lar uchun
| n|=|xn-a|< tengsizlik o’rinli. 

---

Demak, a son (xn) ketma-ketlikning limiti bo’lishi uchun uni
x=a+ n ko’rinishda
ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda n cheksiz kichik
miqdor. 
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning
yig’indisi (ko’paytmasi)
cheksiz kichik miqdor bo’ladi. 
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik
miqdorning ko’paytmasi
cheksiz kichik miqdor bo’ladi.(isbotlang)

---

Cheksiz katta miqdorlar.
Ta’rif. Har bir M son uchun shunday n 0 
nomer mavjud bo’lib, barcha n>n0 lar
uchun |xn|>M tengsizlik o’rinli bo’lsa, (xn)
ketma-ketlik cheksiz katta miqdor yoki
ketma ketlik deyiladi. 
Bu holda
n
lim xn= belgilash ishlatiladi.