Matrisa va ular ustida amallar

Matrisa va ular ustida amallar.


Berilgan a_ij (i=1,...,m; j=1,...,n) sonlardan tashkil topgan quyidagi
yoki (1)
ko’rinishdagi jadvalga matrisa deyiladi. (1) ga m ta yo’lli, n ta ustunli ,mxn o’lchovli matrisa deyiladi. a_ij larga matrisaning elementlari deyiladi.
Agar mxn bo’lsa, (1) ga to’g’ri burchakli yoki o’rta matrisa deyiladi. Agar m=n bo’lsa, (1) ga kvadrat matrisa deyilib, uning o’lchami nxn bo’ladi.
-kvadrat matrisa. -ustun matrisa deyiladi.


- yo’l matrisa deyiladi.
Matrisa faqat jadval bo’lib, u biror aniq sonni ifodalamaydi. Matrisada katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi. Matrisalar odatda A,V,S,-xarflar orqali belgilanadi.
Kvadrat matrisalar uchun uning elementlaridan tuzilgan determinant quyidagicha bo’ladi:
A= , detA=|A|=
Hamma elementlari nol bo’lgan matrisaga nol matrisa deyiladi.
Bosh diagonal elementlaridan boshqa xamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matrisaga diagonal matrisa deyiladi.
Bosh diagonal elementlari bir bo’lib,boshqa barcha elementlari nol bo’lgan kvadrat matrisaga birlik matrisa deyiladi va odatda E xarfi orqali belgilanadi.
E= , |E|=1, bo’lishi ravshan.
Har qanday A va V matrisalarning A=V bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart.


Matrisani songa ko’paytirish.


Biror A matrisani k songa ko’paytirish deb,A matrisaning xamma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan xosil bo’lgan matrisaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi.
kA=Ak=
Matrisalarni qo’shish va ko’paytirish.


Agar A va V matrisalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi deb shunday S matrisaga aytiladiki, bu S matrisaning elementlari A va V matrisalarning mos elementlarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
A= , B=


C=A+B= + =
Berilgan matrisalarni ko’paytirish uchun A matrisaning ustunlari soni n, V matrisaning yo’llar soni p ga teng bo’lishi shart. Aks xolda AV ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matrisani ko’paytirganda xosil bo’lgan matrisaning yo’llar soni ko’payuvchi matrisaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’paytuvchi matrisaning ustunlar soniga teng bo’ladi.
A_mxn x B_pq=C_mq
C= AxB = ,
Shunday qilib ikkita matrisaning ko’paytmasi yana matrisa bo’lib , uning
c_ij elementi A matrisaning i-yulidagi xamma elementlarini V matrisaning
j-ustunidagi mos elementlariga ko’paytmalarining yig’indisidan iborat bo’ladi:
c_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j +...+ a_inb_nj = . (i=1,...,m; j=1,...,q).


Misol.

Teskari matrisa


Teskari matrisa tushunchasi faqat kvadrat matrisalarga nisbatan kiritiladi.
1-ta’rif. Agar xar qanday A va V kvadrat matrisalar uchun AV=VA=Ye tenglik o’rinli bo’lsa ,u xolda V matrisani A matrisaga (va aksincha) teskari matrisa deyiladi.
Odatda A matrisaga teskari matrisa A^-1 ko’rinishda yoziladi va AA^-1= A^-1A=E bo’ladi. (Ye-birlik matrisa).
2-ta’rif. Agar A kvadrat matrisaning determinanti |A|0 bo’lsa, A matrisaga maxsusmas matrisa deyiladi .Agar |A|=0 bo’lsa ,u xolda maxsus matrisa deyiladi
3-ta’rif. Biror A matrisaning barcha mos yo’l va ustunlarining o’rinlarini almashtirishdan xosil bo’lgan matrisaga A ga nisbatan transponirlangan matrisa deyiladi va odatda A* ko’rinishda belgilanadi.
A= , A* =
Teorema. Har qanday A kvadrat matrisa teskari A^-1 matrisaga ega bo’lishi uchun A matrisaning maxsusmas matrisa bo’lishi zarur va kifoya.
Misol.
A= , A^-1=q, |A|= =-9  0. A^-1=-1/9
Haqiqatan A^-1A=AA^-1=E tenglikni o’rinli ekanligini xisoblab ko’rish mumkin.


Matrisaning rangi.


Bizga mxn o’lchovli to’g’ri to’rt burchakli
A=
matrisa berilgan bo’lsin.