3. 1-tarif. Matrisa rangi dyeb, uning noldan farqli minorlari tartibining eng kattasiga aytiladi va u r(A) yoki rang(A) kabi belgilanadi. Agar a matrisaning rangi r

3-ma’ruza.
Matrisa rangi. Matrisa rangini hisoblash usullari
3.1-tarif. Matrisa rangi dyeb, uning noldan farqli minorlari tartibining eng kattasiga aytiladi va u r(A) yoki rang(A) kabi belgilanadi.
Agar A matrisaning rangi r ga teng bo’lsa bu A matrisada hech bo’lmaganda bitta noldan farqli r tartibli minor borligini va r dan katta tartibli har qanday minor nolga teng ekanligini anglatadi.
A matritsada noldan farqli aqalli bitta tartibli minor mavjud bo’lib, shu A dagi s dan yuqori tartibli hamma minorlari nolga teng bo’lsa, A ning rangi ga teng, ya’ni rang(A)= s bo’ladi.
Agar A matritsaning 2 va undan yuqori tartibli minorlari nolga teng bo’lsa va A da aqalli bitta element noldan farqli bo’lsa, A ning rangi 1 ga teng, ya’ni rangA =1 bo’ladi.
Agar A matritsaning hamma elementlari nollardan iborat bo’lsa, bu matritsaning rangi 0 ga teng, ya’ni rangA = rangE⁰ = 0 bo’ladi.
3.1-teorema. Elementar almashtirishlar matritsaning rangini o’zgartirmaydi.
3.2-teorema. Agar A matritsaning rangi s ga teng bo’lsa, rangni aniqlovchi D minorga kirgan satrlar (ustunlar) orqali A ning qolgan har bir satri (ustuni) chiziqli ifodalanadi.
3.3-teorema. Agar matritsada noldan farqli s-tartibli D minor mavjud bo’lib, bu minorga kiruvchi satrlar (ustunlar) orqali A ning qolgan har bir satri (ustuni) chiziqli ifodalansa, A ning rangi s ga teng bo’ladi.
3.4-teorema. To’g’ri burchakli A matritsaning noldan farqli minorlarning eng yuqori tartibi shu matritsaning rangiga teng.
Matrisa rangini aniqlashda odatda, ko’p sondagi determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Bu ishni osonlashtirish uchun maxsus usullarni bayonidan oldin matrisaning elementar almashtirishlarini keltiramiz:
Elementar almashtirishlar.
3.2–ta’rif. Matritsani elementar almashtirishlar deb -
1. Transponirlashni;
2. Istalgan ikki satr (ikki ustun) ni o’zaro almashtirishni;
3. Istalgan satr (ustun) ning elementlarini noldan farqli har qanday m songa ko’paytirishni;
4. Bir satr (ustun) ning elementlarini istalgan m songa ( m=0 bo’lishi ham mumkin) ko’paytirib, boshqa satr (ustun) ning mos elementlariga qo’shishni aytamiz.
5. Matrisada, barcha elyemyentlari nol bo’lgan satrini tashlab yuborish;
Agar B matritsa A matritsaning satrlari (yoki ustunlari) ni bir necha marta ketma-ket elementar almashtirishlar yordamida olingan bo’lsa, u holda A matritsa B matritsaga ekvivalent deyiladi va A B ko’rinishda yoziladi.
Ekvivalyent matrisalar umuman aytganda bir- biriga teng emas lekin ularning ranglari teng bo’lishidan foydalanish mumkin.
Masalan, ushbu A= B= matritsalar ekvivalentdir.
Haqiqatan ham, 2 satrni 1 satrga qo’shamiz, A=
keyin 2 satrni –1 ga ko’paytirib, 1 satrni 2 satrga qo’shamiz va 1 satrni –1 ga ko’paytirib 2 satrni qo’shamiz.

Teorema. Elementar almashtirishlar matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
Matrisa rangi uchun quyidagi xossa o’rinli:
1⁰. Rang(A+B) rang(A) + rang(B);
2⁰. Rang(A B) min{rang(A),rang(B)};
3⁰. Rang(A B) + rang(BC) - r(B) rang(ABC).


3.2. Matrisa rangini hisoblashning minorlar usuli. Ekvivalent almashtirishlar yordamida matrisa rangini hisoblash
3.1-misol. Xashiyalavchi minor yordamida quyidagi matrisaning rangini topig

Yechilishi. Xoshiyalavchi minor yordamida bu matrisaning rangini hisoblaymiz. Matrisaning chap burchagidagi birinchi tartibli minor noldan farqli 1≠ 0. Uning xoshiyalavchi ikkinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz:

M₂¹ = = 0, M₂² = = -1 0

M₂² minorni saqlagan xoshiyalavchi uchinchi tartibli minorni hisoblaymiz:

= 0 va = 0

Uchinchi tartibli minorlarning barchasi nolga teng. Demak, berilgan matrisaning rangi rangA=2.

4.2-misol. Elemintar almashtirishlar yordamida quyidagi matrisaning rangini toping



Yechilishi. Biz qo'shni matritsalarni ~ ekvivalentlik belgisi bilan birlashtirib, bosqichma-bosqich shaklga olib keladigan elementar almashtirishlar yordamida ushbu matritsaning rangini hisoblaymiz.
Ikkinchi satrdan birinchi satrni ayiramiz va satrlarning o’rinlarini almashtiramiz:
~
Ikkinch satrdan uchinchi satrni ayiramiz va mos ravishda 2 va 5 ga ko’paytiramiz: