Matrisaliy tenglamalar

Matrisaliy tenglamalar

Biror P sonlar maydoni ustidagi n ta nomolumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

a₁₁x₁+a₁₂x₂+……+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+……+a₂₁x_n=b₂ (1)

…………………………...

a_n1x₁+a_n2x₂+……+a_nnx_n=b_n

ko’rinishda berilgan bo’lsin.

a₁₁ a₁₂ …… a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ……a_2n

……………...

a_n1 a_n2…… a_nn

matrisani (1) sistemaning matrisasi deyiladi. Aytaylik, A –xosmas matrisa bo’lsin. U xolda (1) ning chap tomonida A matrisani

x₁

X= x₂

x_n

matrisaga ko’paytirishdan kelib chiqadigan n ta satirli va 1 ustunli matrisaning elementlari, o’ng tomonida esa

b₁

B= b₂

b_n

matrisaning elementlari turadi deb qarash mumkun. Shu sababli va ikkita matrisaning tenglik shartiga asosan, (1) ni ushbu

a₁₁ a₁₂ ….a_1n x₁ b₁

a₂₁ a₂₁ …. a_2n x₂ = b₂

……………

a_n1 a_n2 …. a_nn x_n b_n

yoki qisqacha

AX=B (2)

Ko\rinishda yozish mumkun. (2) ga matrisali tenglama deyiladi.

A ga teskari A^-1 matrisa mavjud bo’lganidan (2) ning yechimi

X = A^-1 B (3)

ko’rinishda bo’ladi. Masalan,

1 -1 2 2 x₁

A = 3 -3 7 , B = 9 , X = x₂

2 -3 5 2 x₃

bo’lsa, AX = B tenglamani yechaylik. A matrisa xosmas matrisa bo’lgani uchun unga teskari A^-1 matrisa mavjud. A^-1 ni topadigan bo’lsak u

6 -1 -1

A^-1 = -1 1 -1

-3 1 0

ko’rinishda bo’ladi. Demak, (3) ga ko’ra:

x₁ = 62 + (-1) + (-1)= 1, x₁ = 1

x₂ = (-1)2 + 19 + 02 = 5, x₂ = 5

x₃ = (-3)2 +19 +02 = 3, x₃ = 3

1

bo’lib, berilgan tenglamaning yechimi X = 5 bo’lar ekan.

3

Agar A matrisa xos matrisa bo’lsa uning yechimi haqidagi teoremani isboti bilan keltiramiz.

Teorema. Xos matrisaga teskari matrisa mavjud emas.

Isbot. Faraz qilaylik, A xos matrisa bo’lsin. U holda uning satr vektorlari chiziqli bog’langanligi sababli, bu satr vektorlardan biri qolganlari orqali chiziqli ifodalanadi. U xolda AA^-1 ko’paytmaning ham o’sha satr vektori qolganlari orqali chziqli ifodalanadi. AA^-1 =E bo’lganligi sababli, bu tasdiq E ning satir vektorlari chiziqli erkli bo’lishiga zid keladi.

Demak, faqat xosmas kvadrat matrisalar uchungina teskari matrisalar mavjud bo’lar ekan.

Kirish.

Malumki algebra va sonlar nazariyasi kursida matrisalar, matrisalar ustida amallar, matrisaviy tenglamar haqidagi malumotlar bilan tanishish jarayonida ular haqida ko’proq malumotlarga ega bo’lish, ularni anglash, ular bilan ishlay olish kelgusidagi o’qish va ish faoliyatimizda ularni tadbiq qila ola bilishimiz muhim axamiyat kasb etadi. Shuning uchun ham bu singari mavzularda talabarar yanada ko’proq qiziqish va g’ayrat bilan bunday mavzularni o’rganib boradilar. Biz ham quyida bu mavzuni kengroq yoritishga harakat qilamiz.

Mavzu: AX=B ko’rinishidagi matrisali tenglamalar, bunda A xos matrisa.

Reja:

1. 
   Kirish
   
2. 
   Matrisalar haqqida ma’lumotlar
   
3. 
   Matrisali ko’phadlar
   
4. 
   Jordan matrisalari
   
5. 
   Matrisali tenglamalar
   
6. 
   Xulosa
   

Xulosa

Maskur kurs ishida 6 ta rejadan iborat bo’lb, dastlab kirish qsmida mavzuning dolzarbligi haqida fikir bildirilib o’tilgan. So’ng matrisalar haqida umumiy malumotlar ko’rsatilgan. Keyin esa matrisali ko’phadlar haqida tushunchalar keltirib o’tilgan. Muxim matrsalardan yana biri Jordan matrisalari haqida ham alohida to’htalgandan so’ng asosiy mavzu matrisali tenglamalar hadi kengroq to’htalganmiz va u yerda matrisali tenglamalar haqidagi muhim bilimlarga ega bo’ldik.