Matritsa va ular ustida amallar. Determinant tushunchasi va uni hisoblash

 

.................... ^0 0 0 ... 1 ^_
u birlik matritsa deyiladi.
5.2. Matritsalar ustida amallar
A va _B bir hil o‘lchovli matritsalar bo‘lsin. Agar _A va _B matritsalarning
mos elementlari teng bo‘lsa, _A va _B teng deyiladi va _{A B} kabi yoziladi.
_A va _B matritsalarning mos elementlarining yig‘indisidan tashkil topgan matritsa
A va _B matritsalar yig‘indisi deyiladi va _{A B} kabi yoziladi. [1, 184-bet]
(AB)_ij  A_ij B yigindining ij_ij elementi ijelemenetlar yigindisiga
_A va _B matritsalarning mos elementlarining ayirmasidan tashkil topgan matritsa A va _B matritsalar ayirmasi deyiladi va _{A B} kabi yoziladi.
(A B )_ij  A_ij B ayirmaning ij elementi_ij   ij elemenetlar ayirmasiga Masalan, [1,
184-bet]

1. 
   2 3   1 1   31 12 .
   

1 0  2 1 

2  3 9  5  11  8

2. 
   1 0   0 13  1 13
   

     
_1 3_ _1 3 _ _2 6 
2 3 9 5  7 2 

3. 
   ^1 0^  ^0 13^  ^1 13^
   

     
_1 3 _1 3  _0 0 
Aytaylik, _A matritsa hamda c son berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning har bir elementini c songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan matritsa c son bilan _A matritsa ko‘paytmasi deyiladi va c A kabi belgilanadi [1, 186-187-betlar] :
c A _ij  cA_ij .
 25 ³_ 15 18
Masalan, 6 1 0 6 0 .
1 5 _6 5 

 6
Ikki _A va _B matritsalarning ko‘paytmasi tushunchasi birinchi matritsaning ustunlar soni ikkinchi matritsaning yo‘llar soniga teng bo‘lgandagina kiritiladi. Aytaylik, _{m n} o‘lchovli
 a11 12a ... a1n 
 
A a21 a22 ... a2n 
......................
 
am1 am2 ... amn 
matritsa hamda n k o‘lchovli
 b b11 12 ... b1k 
 
Bb b21 22 ... b2k 
......................
 
b bn1 n2 ... bnk 
matritsalar berilgan bo‘lsin.
A matritsaning _i- yo‘lda joylashgan

1. 
   ai1, i2, ..., ain
   

elementlarini mos ravishda _B matritsaning j - ustunida joylashgan.

2. 
   b1j, 2 j, ..., bnj
   

ko‘paytirib [1, 195-bet]
b1j 
 

b2 j   a bi1  1j  a bi2  2 j   a bin  nj Cij  (AB)ij [a ai1 i2 ain ] 
 
b_nj 
yig‘indini hosil qilamiz. Bu sonlardan tuzilgan ushbu
 c c11 12 ... c1k 
  c c21 22 ... c2k ^
C _
......................
 
c cm1 m2 ... cmk 

m k o‘lchovli matritsa belgilanadi. Agar

A

va

B matritsalar ko‘paytmasi deyiladi va  a a11 12 ... a1n    Aa a21 22 ... a2n  ^......................^    a an1 n2 ... ann  

A B

kabi

n n_ o‘lchovli kvadrat matritsa bo‘lib,
1 0 0 ... 0 
E ^0 1 0 ... 0^
...................
 
_0 0 0 ... 1_
n n_ o‘lchovli birlik matritsa bo‘lsa, u holda
A E EA E  
bo‘ladi.
5.3. Determinant tushunchasi va uni hisoblash
Ixtiyoriy _{n n} o‘lchovli kvadrat matritsa
 a a11 12 ... a1n 
 
Aa a21 22 ... a2n 
^......................^
 
 a an1 n2 ... ann 
ning elementlaridan tuzilgan ushbu
a11 12a ... a1n
a21 22a ... a2n
......................
an1 an2 ... ann

ifoda ( matritsa kabi _nta yo‘l va _nta ustunga ega bo‘lgan ifoda) _A matritsaning _ntartibli determinanti deyiladi va det A (yoki A , yoki _ kabi belgilanadi:
a a11 12 ... a1n
a21 a22 ... a2n.
det A  A 
......................
a an1 n2 ... ann
Matritsa elementi determinantning ham elementi deyiladi.
Masalan, n_1 bo‘lganda
A a ₁₁ bo‘lib, det A  a₁₁;
n2 bo‘lganda [2, 290-bet]
A aa1121 aa1222 
bo‘lib,

a11 a12

A  det A  a₁₁a₂₂a₁₂ a₂₁; (1) a21 a22
n3 bo‘lganda
 a11 a12 a13 
A  a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
bo‘lib, [2, 292-293-betlar]

a₁₁ a12 a13

det A a₂₁ a22 a23a a a11 22 33 a a a12 23 31 a a a13 21 32 a a a11 23 32  a₃₁ a32 a33
a a a_{12 21 33} a a a_{13 22 31} (2)
bo‘ladi.
Odatda (1) va (2) mos ravishda ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar deyiladi.
Demak, determinantlar sonlarni ifodalydi.
Determinantlar quyidagi xossalarga ega:

• 
  Determinantning biror yo‘li (ustuni) faqat nollardan iborat bo‘lsa, determinantning qiymati nolga teng bo‘ladi;
  
• 
  Agar determinantning ikki yo‘li (ikki ustuni) dagi elementlari proporsional bo‘lsa, determinantning qiymati 0 ga teng bo‘ladi;
  
• 
  Agar determinantning biror yo‘li (ustuni) biror o‘zgarmas songa ko‘paytirilsa, determinantning qiymati ham k ga ko‘payadi:
  
• 
  Agar determinantning ikki yo‘li (ikki ustuni) o‘rinlarini almashtirilsa, determinant ishorasini o‘zgartiradi.
  
• 
  Agar determinantning bir yo‘lini (ustunini) o‘zgarmas songa ko‘paytirib, uni boshqa yo‘liga (ustuniga) qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi: Faraz qilaylik, biror
  

a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
uchinchi tartibli determinant berilgan bo‘lsin. Bu determinantning biror a_ik i 1,2,3; k 1,2,3 elementini olib, shu element joylashgan yo‘lni hamda
ustunni o‘chiramiz. Ravshanki, qolgan elementlari ikkinchi tartibli determinantni hosil qiladi. Bu determinantga _aik elementning minori deyiladi va u M_ik kabi belgilanadi. Ushbu
Aik   1i k Mik
miqdor _aik elementning algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi.
Teorema. Determinantning biror yo‘lida joylashgan barcha elementlarning ularga mos algebraik to‘ldiruvchilari bilan ko‘paytmasidan tashkil topgan yig‘indi shu determinantning qiymatiga teng bo‘ladi.
Iikkinchi tartibli determinant, ta’rifga ko‘ra

a11 a12
a a11 22 a a12 21
a21 a22
bo‘ladi.

11 a21 a31

12 a22 a32

13 a a23  a11 22 a a33 32

a23 a21 a a33 12 a32

a23 a21 a a33 13 a31

a22 a32

Uchinchi tartibli determinant, ta’rifga ko‘ra a a a
bo‘ladi. Bu tenglikda qatnashgan ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblab topamiz:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23  a a a11 22  33  a a23  32  a a a12  21  33  a a23  31 a33

a a a13 21  32  a a22  31  a a a11 22 33  a a a12 23 31  a a a13 21 32  a a a11 23 32 
a a a12 21 33  a a a13 22 31
Demak, uchinchi tartibli determinant 6 ta had yig‘indisidan iborat bo‘lib, ularning uchtasi musbat ishorali, uchtasi manfiy ishorali bo‘ladi.
Musbat va manfiy ishorali hadlarni yozishda quyidagi tasvirlangan sxemalardan foydalanish qulay bo‘ladi,
.
Agar uchinchi tartibli determinantni quyidagi ko‘rinishda yozib olsak
a11a12a13a11a12 a21a22a23a21a22 a31a32a33a31a32
determinantning qiymatini Sarryus usuli deb ataluvchi usul bilan xam xisoblash mumkin;

5.4. Teskari matritsa
Matritsada yo’l va ustunlar o’rinlarini almashtirish transponirlash deyiladi va ko”rinishda belgilanishi mumkin. Agar mxn o’lchovli bo’lsa, nxm o’lchovli bo’ladi .
Misol.
Transponirlash quyidagi xossalarga ega:

bo’lsa, V matritsa А
shartga