Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsa bir qator matematik va iqtisodiy masalalarni yechishda juda ko‘p qo‘llaniladigan tushuncha bo‘lib, uning yordamida bu masalalar va ularning yechimlarini sodda hamda ixcham ko‘rinishda ifodalanadi.

Matritsa ta’rifi: m ta satr va n ta ustundan iborat to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi mn ta sondan tashkil topgan jadval m×n tartibli matritsa, uni tashkil etgan sonlar esa matritsaning elementlari dеb ataladi.

Matritsalar A,B,C,… kabi bosh harflar bilan, ularning i-satr va j-ustunida joylashgan elementlari esa odatda а_іј , b_іј , с_іј kabi mos kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan,

А=

matritsa 2×3 tartibli, ya’ni 2 ta satr va 3 ta ustun ko‘rinishidagi 2·3=6 ta sondan tashkil topgan. Uning 1-satr elementlari а₁₁ =1, а₁₂ = –3, а₁₃ =1.2 va 2-satr

elementlari а₂₁ =0, а₂₂ =7.5, а₂₃ = –1 sonlardan iborat. Bu matritsaning 1-ustuni а₁₁ =1 va а₂₁ =0, 2-ustuni а₁₂ = –3 va а₂₂ = 7,5, 3-ustuni esa а₁₃ =1.2 va а₂₃ = –1 elementlardan tuzilgan.

Agar biror A matritsaning tartibini ko‘rsatishga ehtiyoj bo‘lsa, u А_m×n ko‘rinishda yoziladi va umumiy holda

yoki qisqacha А_m×n =( а_іј ) ko‘rinishda ifodalanadi.

А_mхn matritsada m = n  1 bo‘lsa, u kvadrat matritsa, m  n (m1, n1) bo‘lsa to‘g‘ri burchakli matritsa , m=1, n1 holda satr matritsa va m1, n=1 bo‘lganda ustun matritsa deb ataladi.

А_nхn kvadrat matritsa qisqacha А_n kabi belgilanadi va n-tartibli kvadrat matritsa deyiladi.

Masalan, xalq xo‘jaligining n ta tarmoqlari orasidagi o‘zaro mahsulot ayirboshlash А_n =( а_іј ) kvadrat matritsa yordamida ifodalanadi. Bunda а_іј (i,j=1,2, … , n va i≠j) i-tarmoqda ishlab chiqarilgan mahsulotning j-tarmoq uchun mo‘ljallangan miqdorini, а_іi (i=1,2, … , n) esa i-tarmoqning o‘zi ishlab chiqargan mahsulotga ehtiyojini bildiradi.

Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, m=1 va n=1 bo‘lganda А_1×1 matritsa bitta sonni ifodalaydi va shu sababli ma’lum bir ma’noda matritsa son tushunchasini umumlashtiradi.

A va B matritsalar bir xil tartibli va ularning mos elеmеntlari o‘zaro tеng bo‘lsa, ya’ni а_ij = b_ij shart bajarilsa, ular tеng matritsalar dir

A va B matritsalarning tengligi A=B yoki ( а_іј)= (b_іј) ko‘rinishda belgilanadi. Masalan, ixtiyoriy a≠0 soni uchun

matritsalar o‘zaro teng, ya’ni A = B bo‘ladi.

А={а_іј} matritsada i=j bo‘lgan а_іі elеmеntlar diagonal elеmеntlar

Masalan, yuqorida ko‘rilgan А_2×3 matritsaning diagonal elementlari а₁₁ =1 va а₂₂ =7.5 bo‘ladi.

Diagonal matritsa diagonal elеmеntlaridan boshqa barcha elеmеntlari nolga tеng bo‘lgan ( а_іј =0, і j ) kvadrat matritsadir.

Diagonal matritsaning diagonal elementlari nolga ham teng bo‘lishi mumkin.

Masalan,

diagonal matritsalar bo‘ladi.

Barcha diagonal elеmеntlari а_іi =1 bo‘lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa yoki qisqacha birlik matritsadir

Odatda n-tartibli birlik matritsa E_n yoki qisqacha E kabi belgilanadi. Masalan,

,

mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.

Barcha elеmеntlari nolga tеng (а_{і ј} =0) bo‘lgan ixtiyoriy m×n tartibli matritsa nol matritsa deyiladi.

m×n tartibli nol matritsa О _m×n yoki qisqacha О kabi belgilanadi. Masalan,

O_2×3 = , O_3×2 = , O_3×3 = O₃ =

ko‘rsatilgan tartibli nol matritsalar bo‘ladi.

Matritsalar ustida amallar.

Endi matritsalar ustida algebraik amallar kiritib, matritsalar algebrasini hosil etamiz.

Ixtiyoriy tartibli А_m×n =(а_ij) matritsaning istalgan  songa ko‘paytmasi dеb C_m×n ={ а_ij} kabi aniqlanadigan matritsaga aytiladi.

Bunda A matritsaning  songa ko‘paytmasi A deb belgilanadi. Masalan,

.

Bir xil tartibli А_m×n =(а_ij) va B_m×n =(b_ij) matritsalar yig‘indisi dеb elеmеntlari с_ij = а_ij + b_ij kabi aniqlanadigan C_m×n =(c_ij) matritsaga aytiladi.

Bunda A va B matritsalarning yig‘indisi A+B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini qo‘shish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun

.

Matritsalarni songa ko‘paytirish va o‘zaro qo‘shish amallari quyidagi qonunlarga bo‘ysunishi bevosita ularning ta’riflaridan kelib chiqadi:

I. A+B=B+A (qo‘shish uchun kommutativlik qonuni);

II. А+(В+С) = (А+В)+С (qo‘shish uchun assotsiativlik qonuni);

III.  (А+В) = А + В , (  +  )А = А + А (distrubutivlik qonuni)

Bundan tashqari yuqoridagi ta’riflar orqali bu amallar ushbu xossalarga ham ega bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas:

А + О = А , А+А =2А, 0  А = О ,   О = О.

Bir xil tartibli А_m×n =(а_ij) va B_m×n =(b_ij) matritsalar ayirmasi dеb А_m×n va (–1) B_m×n matritsalarning yig‘indisiga, ya’ni А_m×n+(–1)B_m×n matritsaga aytiladi.

Bunda A va B matritsalarning ayirmasi A–B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini o‘zaro ayirish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun

.

А_m×р=(a_ij) vа В_p×n=(b_ij) matritsalarning ko‘paytmasi dеb shunday С_m×n=(c_ij) matritsaga aytiladiki, uning c_ij elеmеntlari ushbu

yig‘indilar kabi aniqlanadi.

Shunday qilib, А_m×р=(a_ij) vа В_q×n=(b_ij) matritsalar uchun p=q, ya’ni A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgandagina ularning ko‘paytmasi mavjud bo‘ladi va AB kabi belgilanadi. Bunda AB=С_m×n=(c_ij) matritsaning satrlar soni m birinchi A ko‘paytuvchi matritsa, ustunlar soni n esa ikkinchi B ko‘paytuvchi matritsa orqali aniqlanadi. Bundan tashqari AB=С_m×n=(c_ij) ko‘paytma matritsaning c_ij elеmеnti A matritsaning i – satr elеmеntlarini B matritsaning j-ustunidagi mos elеmеntlariga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish orqali hisoblanadi. Bu “satrni ustunga ko‘paytirish” qoidasi deb aytiladi. Masalan,

matritsalar uchun m=3, p=q=2, n = 2 bo‘lgani uchun ularning ko‘paytirish mumkin va ko‘paytma matritsa АВ=С_3х2 quyidagicha bo‘ladi:

.

Matritsalar ko‘paytmasi uchun АВВА, ya’ni kommutativlik qonuni o‘rinli

bo‘lmaydi. Masalan, А_m×qВ_q×n=C_m×n ko‘paytma mavjud, ammo В_q×n А_m×q ko‘paytma har doim ham mavjud emas va mavjud bo‘lgan taqdirda, ya’ni n=m holda ham ular teng bo‘lishi shart emas. Masalan,

matritsalar uchun АВВА, chunki

.

Matritsalar ko‘paytmasi va yig‘indisi quyidagi qonunlarga bo‘ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo‘ladi:

I. А(ВС)=(АВ)С , (А)В=А(В) (ko‘paytirish uchun assotsiativlik qonuni);

II. А(В+С) = АВ + АС (ko‘paytirish va qo‘shish amallari

(А+В)С = АС + ВС uchun distributivlik qonunlari);

III. АЕ = ЕА = А , О·А = О, A·O = О , 0·A= О .

Bunda E va О mos ravishda tegishli tartibli birlik va nol matritsalarni ifodalaydi.

Matritsa ko‘paytmasi ta’rifidan ko‘rinadiki, har qanday n-tartibli A kvadrat matritsani o‘ziga–o‘zini ko‘paytirish mumkin va natijada yana n-tartibli kvadrat matritsa hosil bo‘ladi.

A kvadrat matritsani o‘zaro m marta (m – birdan katta ixtiyoriy natural son) ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan kvadrat matritsa A matritsaning m- darajasi deyiladi.

A matritsaning m- darajasi A^m kabi belgilanadi. Bunda A⁰=E va A¹=A deb olinib, A^m daraja ixtiyoriy nomanfiy butun m soni uchun aniqlanadi. Bu holda A^m daraja

ta’rifdan uning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi (m,k-natural sonlar, λ-haqiqiy son):

Shunday qilib, har qanday kvadrat matritsa uchun natural darajaga ko‘tarish amalini kiritish mumkin ekan. Masalan,

Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, 5-xossaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni A^m=О tenglikdan har doim ham A=О ekanligi kelib chiqmaydi. Masalan,

Kelgusida matritsani darajaga ko‘tarish amalini ixtiyoriy m butun son uchun umumlashtiramiz.

B=(b_ij) matritsa A=(a_ij) matritsaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarida a_ij=b_ji shart bajarilsa.

A matritsaning transponirlangani A^T kabi belgilanadi. Agar A matritsa m×n tartibli bo‘lsa, uning transponirlangani A^T n×m tartibli bo‘ladi.Masalan,

Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi va u quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatish mumkin:

1. (A^T)^T=A ; 2. (λA)^T=λA^T (λ– ixtiyoriy haqiqiy son);

3. (A±B)^T= A^T±B^T ; 4. (A·B)^T= B^T·A^T .

Agar A kvadrat matritsa uchun A^T=A bo‘lsa, u simmetrik matritsa, A^T= –A bo‘lganda esa kososimmetrik matritsa dir.

Ta’rifdan har qanday simmetrik matritsaning elementlari a_ij= a_ji , kososimmetrik matritsaning elementlari esa a_ij=– a_ji shartni qanoatlantirishi bevosita kelib chiqadi. Bundan kososimmetrik matritsaning barcha diagonal elementlari nolga teng bo‘lishi kelib chiqadi.

Masalan,

matritsalardan A simmetrik, B kososimmetrik bo‘ladi.

Matritsalarning iqtisodiy tadbiqlari.