Mavzu : Aniq integralning geometriya va fizika masalalariga tadbiqlari Reja

> restart;with(plots):
> x2:=t->3*cos(t);y2:=t->3*sin(t);

> x1:=t->3*cos(t);y1:=t->2*sin(t);

> s1:=plot([x1(t),y1(t), t=0..Pi/2],thickness=2);

> s2:=plot([ x2(t),y2(t), t=0..Pi/2],thickness=2);

> display({s2,s1}, axes=boxed, title=`YUZA`);

> s1:=int(x1(t)*diff(y1(t),t),t=0..Pi/2);
> s2:=int(x2(t)*diff(y2(t),t),t=0..Pi/2);
> s:=s2-s1;
17-misol. astroida-chizig’i bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani hisoblash.
Yechish:
1) astroida grafigini quramiz:
> with(plots):
> plot([1*cos(t)^3,1*sin(t)^3, t=0..2*Pi],thickness=2);

2)berilgan astroidaning parametrik tenglamasi x=acos³(t), y=asin³(t) ga asosan uning yuzani hisoblash:

> restart;
> x:=t->a*cos(t)^3;y:=t->a*sin(t)^3;

> s:=4*(1/2)*int(x(t)*diff(y(t),t)-y(t)*diff(x(t),t), t=0..Pi/2);

Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari

Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish

formula bilan hisoblanadi.
Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.
Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi

formula bilan aniqlanadi.
Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

formulalar orqali hisoblanadi.
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

formulalar orqali ifodalanadi.
Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari


formulalar orqali ifodalanadi.
tekislikda massalari bo’lgan material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.
Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini va lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan



formulalarni yozishimiz mumkin.
tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :



chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari

formulalardan topiladi.