Mavzu : Furye qatorining yaqinlashuvchiligi. Reja: 1-: Furye qatorining yaqinlashuvchiligi

, (6)

(7)

(8)

Bunda n = 1, 2, 3,… dir.

(7) va (8) formulalar

va

almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2 dan iborat bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.

Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal bo`lsa, u holda, shu sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.

1-misol. (- , ) oraliqda f(x)=sin5x va (x)=cos2x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi: Berilgan funktsiyalar ko`paytmasini (- , ) oraliqda integrallaymiz:

Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.

2-misol. (- , ) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi:

Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.

3-misol. oraliqda f(x)=sin2x va (x)=sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi:

4-misol. (-2 , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos²3x ning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi:

2. Eyler – Furye formulalari

Faraz qilaylik, f(x) funktsiya davriy bo`lib, uning davri 2 bo`lsin.

Teorema. Quyidagi

(1)

trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar f(x) funktsiya uchun

integral mavjud bo`lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler – Furye formulalari o`rinli bo`ladi:

(2)

Isboti: Ma`lumki,

. (3)

Ushbu tenglikni – va oraliqda integrallaymiz: