Mavzu : Furye qatorining yaqinlashuvchiligi. Reja: 1-: Furye qatorining yaqinlashuvchiligi

(4)

Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o`ng tomonidagi integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda, quyidagiga ega bo`lamiz:

ya`ni

Demak, n=0 bo`lganda (2)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil qildik. Qolganlari ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx ga ko`paytiriladi, so`ngra, integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma – had ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz:

(5)

Buning o`ng tomonidagi, to`rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi paragrafdagi (2), (3) va (4) larga asosan nolga teng. (6) formulaga asosan beshinchi integral ga teng. U holda,

3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator

Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi

(6)

trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar integral mavjud bo`lsa, u holda, (6) qatorning koeffisentlari uchun quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:

(bunda n=0,1,2,3,…)

(bunda n=1,2,3,…) (7)

Oldingi paragrafdagi (2) formulalar = bo`lganda (7) dan kelib chiqadi.

4. FURYE QATORI

Davri 2 dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x) bo`lgan quyidagi yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:

(1)

Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1) qatorning koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:

va (2)

Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.

5. UZLUKSIZ FUNKTSIYa UChUN FURYE QATORI

f(x) funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga ega bo`lmasin. U holda, f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz va x ning (- , ) oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.