Mavzu : parametr qatnashgan nostandart tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish

1-misol. Ushbu =0 tenglama ikkita turli ildizga ega bo‘ladigan aning barcha qiymatlarini toping.
Yechish. uzluksiz funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini topamiz. Buning uchun funksiya hosilasini topamiz: f’(x)=12x³+12x²-12x-12=12x²(x+1)-12(x+1)=12(x²-1)(x+1)=12(x-1)(x+1)².

14-rasm
Demak, da ; va da ; da . Shunday qilib, funksiya nuqtada lokal minimumga ega va ga teng. Bundan tashqari funksiya da kamayuchi, da o‘suvchi, (14-rasm).
Bundan ko‘rinadiki, berilgan tenglama ikkita turli ildizga bo‘lishi uchun to‘g‘ri chiziq funksiya grafigini ikki nuqtada kesib o‘tishi lozim. Bu esa , ya’ni da o‘rinli bo‘ladi.
2-misol. aning har bir qiymati uchun tenglama haqiqiy ildizlari sonini toping.
Yechish. funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. bo‘lganligi sababli, f(x)funksiyax<3ada kamayuvchi, x>3ada o‘suvchi bo‘lib, x=3anuqtada lokal maksimumga ega bo‘ladi. Funksiyaning shu nuqtadagi qiymatif(a)=81a⁴-4a27a³-2=-3a⁴-2<0va .Shu sababli f(x)=0tenglama (-;3a) va (3a;+() oraliqlarda bittadan ildizga ega. Demak, berilgan tenglama a ning ixtiyoriy qiymatida ikkita ildizga ega bo‘ladi.
3-misol. aning har bir qiymati uchun 2x³-3ax²+1=0 tenglama haqiqiy ildizlari sonini toping.
Yechish. f(x)=2x³-3ax²+1 funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. Bu funksiyaning hosilasini topamizf’(x)=6x²-6ax=6x(x-a). Funksiyaning statsionar nuqtalari x=0, x=alardan iborat. Bunda uch hol bo‘lishi mumkin. 1-hol: a=0, bu holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. 2-hol: a<0, bu holda x(-;a) da f’(x)>0, demakf(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x(a;0) da f’(x)<0, f(x)funksiya kamayuvchi bo‘ladi;x(0;+) daf’(x)>0, f(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya x=a<0 nuqtadaf(a)=-a³+1>1 lokal maksimumga, x=0 nuqtadaf(0)=1 lokal minimumga yerishadi. Bundan, agar a<0 bo‘lsa, tenglama yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. 3-hol: a>0, x(-;0) daf’(x)>0, demakf(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x(0;a) daf’(x)<0, f(x)funksiya kamayuvchi bo‘ladi;x(a;+) daf’(x)>0, f(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya x=anuqtadaf(a)=-a³+1 lokal minimumga, x=0 nuqtada f(0)=1 lokal maksimumga yerishadi. Agar 0<a<1 bo‘lsa, u holda f(a)>0 bo‘lib, tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. Agar a>1 bo‘lsa, u holda f(a)<0 bo‘lib, tenglama uchta turli yechimga ega bo‘ladi. Agar a=1 bo‘lsa, u holda f(a)=0 bo‘lib, berilgan tenglama uchta, lekin ikkitasi ustma-ust tushadigan ildizga ega bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan tenglama a<1 da bitta haqiqiy yechimga, a=1 da ikkitasi ustma-ust tushuvchi uchta ildizga, a>1 da turli uchta ildizga ega bo‘ladi.


XULOSA
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida birinchi bo`lib shu mavzuga doir adabiyot va manbalar to`pladim. Parametr qatnashgan nostandart tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish bilan tanishib chiqdim. Mavzu Analitik geometriya fani bilan bog`liq. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qismlaridan iborat.
Tenglamalar matematikaning asossiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u amaliy (tatbiqiy) masalalarni yechishning kuchli vositalaridan biridir. U tatbiqiy masalaning matematik modeli bo‘lib xizmat qiladi. Shuning uchun ham sodda tenglamalarni yechish, turmushda uchrab turadigan ba’zi masalalarni yechishda tenglamalardan foydalana olish matematik madaniyatning muhim ko‘rsatkichi bo‘lib xizmat qiladi. Shu sababali ham maktab, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kurslarida tenglamalar mavzusi uzviy o‘rganiladi. Bunda o‘quvchilar chiziqli, kvadrat tenglamalarni, ularga keltiriladigan tenglamalarni, ratsional tenglamalarni, sodda irratsional tenglamalarni, trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik tenglamalarni o‘rganadi. Aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik litseylarda yuqori darajali algebraik tenlamalar o‘rganiladi. Kurs ishining asosiy qismida Parametr qatnashgan nostandart tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanishni kengroq, chuqurroq misollar yordamida tushuntirib berishga harakat qildim.
Parametr qatnashgan nostandart tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanishxilma xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham turlichadir. Parametr qatnashgan Nostandart tenglamalarni qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni ularni yechish usullari bo‘yicha klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash matematikaning vazifalaridan biridir.
Ushbu kurs ishida parametr qatnashgan nostandart tenglamlar ularni yechishda foydalanadigan funksiyaning xossalariga qarab klassifikatsiyalandi; Parametr qatnashgan Nostandart tenglamalarni funksiyaning sodda xossalaridan (aniqlanish sohasi, chegaralanganligi, funksiya grafigi va b.) foydalanib yechish usullarini o‘rganildi; tenglamalarni funksiya hosilasidan foydalanib yechish usullarini o‘rganildi; parametr qatnashgan tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish usuli o‘rganildi va hosiladan foydalanish asoslandi; nostandart tenglamalarni yechishning klassik tengsizliklardan foydalanish usullarini o‘rganildi.
Ushbu kurs ishda olingan natijalar aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik litseylarning matematika ta’limi jarayonida, matematikaga qiziquvchi o‘quvchilarga sinfdan tashqari ishlarni tashkillashtirishda foydalanishi mumkin. Ushbu ishdan talabalar hamda maktab, litsey, kollej matematika o‘qituvchilari foydalanishi mumkin.