Mavzu : Tarkibiy o’rtachalarning qo’llanishi va hisoblash tartibi. Reja

O'rtacha ko'rsatkichlar turlari va ularni hisoblash usullari
Keling, o'rtacha ko'rsatkichlarning turlarini, ularni hisoblash xususiyatlari va qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. O'rtachalar ikkita katta sinfga bo'linadi: quvvat o'rtachalari, tizimli o'rtachalar.
TO kuch degani geometrik o'rtacha, arifmetik o'rtacha va ildiz o'rtacha kvadrat kabi eng mashhur va tez-tez ishlatiladigan turlarni o'z ichiga oladi.
Sifatda tizimli o'rtacha ko'rsatkichlar moda va median hisobga olinadi.
Keling, o'rtacha quvvatlar haqida to'xtalib o'tamiz. Quvvatning o'rtacha ko'rsatkichlari, dastlabki ma'lumotlarning taqdimotiga qarab, oddiy va vaznli bo'lishi mumkin. Oddiy o'rtacha guruhlanmagan ma'lumotlar asosida hisoblanadi va quyidagi umumiy shaklga ega:
bu erda X i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning variantlari (qiymati);
n - variantlar soni.

O'rtacha vaznli guruhlangan ma’lumotlardan hisoblanadi va umumiy shaklga ega
bu erda X i - o'rtacha olingan xususiyatning varianti (qiymati) yoki variant o'lchanadigan intervalning o'rta qiymati;
m - o'rtacha daraja ko'rsatkichi;
f i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning i-e qiymati necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadigan chastota.
Misol tariqasida 20 kishilik guruhdagi o‘quvchilarning o‘rtacha yoshini hisoblashni keltiramiz:
O'rtacha yosh oddiy o'rtacha formula yordamida hisoblanadi:
Keling, asl ma'lumotlarni guruhlashtiramiz. Biz quyidagi tarqatish seriyasini olamiz:
Guruhlashtirish natijasida biz yangi ko'rsatkich - X yoshdagi o'quvchilar sonini ko'rsatadigan chastotani olamiz. Shunday qilib, guruh talabalarining o'rtacha yoshi o'rtacha vaznli formuladan foydalanib hisoblanadi:
O'rtacha quvvatni hisoblash uchun umumiy formulalar eksponentga (m) ega. Qaysi qiymatga qarab, o'rtacha quvvatning quyidagi turlari ajratiladi:
o'rtacha harmonik, agar m = -1;
geometrik o'rtacha, agar m -> 0 bo'lsa;
arifmetik o'rtacha, agar m = 1 bo'lsa;
ildiz-o'rtacha kvadrat, agar m = 2 bo'lsa;
o'rtacha kub, agar m = 3 bo'lsa.
Quvvat qonuni formulalari jadvalda keltirilgan. 4.4.
Agar biz bir xil dastlabki ma'lumotlar uchun barcha turdagi o'rtacha qiymatlarni hisoblasak, ularning qiymatlari teng bo'lmaydi. Bu erda o'rtacha kattalik qoidasi qo'llaniladi: m ko'rsatkichining oshishi bilan mos keladigan o'rtacha qiymat ham ortadi:
Statistik amaliyotda o'rtacha og'irlikning boshqa turlariga qaraganda tez-tez o'rtacha arifmetik va garmonik vaznli o'rtacha ko'rsatkichlar qo'llaniladi.
Garmonik o'rtacha arifmetik o'rtachaga qaraganda murakkabroq tuzilishga ega. Garmonik o'rtacha og'irliklar agregat birliklar - atributning tashuvchilari emas, balki atribut qiymatlari bo'yicha ushbu birliklarning mahsuloti (ya'ni, m = Xf) bo'lganda hisob-kitoblar uchun ishlatiladi. O'rtacha garmonik ishlamay qolish vaqtiga, masalan, ishlab chiqarish bilan shug'ullanadigan ikkita (uch, to'rt va hokazo) korxona uchun bir qism uchun mehnat, vaqt, materiallar, ishlab chiqarish birligiga o'rtacha xarajatlarni aniqlashda murojaat qilish kerak. bir xil turdagi mahsulot, bir xil qism, mahsulot.
O'rtachani hisoblash formulasiga qo'yiladigan asosiy talab hisobning barcha bosqichlari haqiqiy mazmunli asosga ega bo'lishidir; olingan o'rtacha qiymat har bir ob'ekt uchun atributning individual qiymatlarini individual va umumiy ko'rsatkichlar o'rtasidagi aloqani buzmasdan almashtirishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, o'rtacha qiymatni shunday hisoblash kerakki, o'rtacha ko'rsatkichning har bir alohida qiymati uning o'rtacha qiymatiga almashtirilganda, u yoki bu tarzda o'rtacha ko'rsatkich bilan bog'langan ba'zi yakuniy yig'ma ko'rsatkich o'zgarmas qoladi. Bu pastki chiziq deyiladi aniqlash, chunki uning individual qiymatlar bilan aloqasi tabiati o'rtacha hisoblash uchun maxsus formulani belgilaydi. Keling, geometrik o'rtacha misol yordamida ushbu qoidani ko'rsatamiz.
Geometrik o'rtacha formula
u ko'pincha dinamikaning individual nisbiy qiymatlari uchun o'rtacha qiymatni hisoblashda qo'llaniladi.
Geometrik o'rtacha dinamikaning zanjirli nisbiy qiymatlari ketma-ketligi berilgan bo'lsa, masalan, o'tgan yil darajasiga nisbatan ishlab chiqarish hajmining o'sishini ko'rsatsa ishlatiladi: i 1, i 2, i 3, ..., men n. Shubhasiz, o'tgan yildagi ishlab chiqarish hajmi uning dastlabki darajasi (q 0) va yillar davomida keyingi o'sish bilan belgilanadi:
q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.
Q n ni aniqlovchi ko'rsatkich sifatida qabul qilib, dinamika ko'rsatkichlarining individual qiymatlarini o'rtacha qiymatlar bilan almashtirib, biz munosabatga erishamiz.
Bu yerdan Strukturaviy o'rtacha ko'rsatkichlar
O'rtacha qiymatlarning maxsus turi - tizimli o'rtachalar - atribut qiymatlarini taqsimlash seriyasining ichki tuzilishini o'rganish, shuningdek o'rtacha qiymatni (kuch turini) baholash uchun ishlatiladi, agar mavjud statistik ma'lumotlarga ko'ra, uni hisoblashni amalga oshirish mumkin emas (masalan, ko'rib chiqilayotgan misolda va ishlab chiqarish hajmi va korxonalar guruhlari bo'yicha xarajatlar miqdori to'g'risida ma'lumotlar bo'lmasa).
Ko'rsatkichlar ko'pincha tizimli o'rtacha ko'rsatkichlar sifatida ishlatiladi moda - xarakteristikaning eng tez-tez takrorlanadigan qiymati - va medianlar - uning qiymatlarining tartiblangan ketma-ketligini son jihatidan teng bo'lgan ikki qismga ajratadigan atributning qiymati. Natijada, aholi birliklarining yarmida belgining qiymati o'rtacha darajadan oshmaydi, ikkinchisida esa undan kam emas.
Agar o'rganilayotgan xususiyat diskret qiymatlarga ega bo'lsa, u holda rejim va medianani hisoblashda alohida qiyinchiliklar bo'lmaydi. Agar X atributining qiymatlari to'g'risidagi ma'lumotlar uning o'zgarishining tartiblangan intervallari (interval seriyalari) ko'rinishida taqdim etilsa, rejim va medianani hisoblash biroz murakkablashadi. Median qiymat butun populyatsiyani soni bo'yicha teng ikki qismga bo'lganligi sababli, u X atributining ba'zi oraliqlarida paydo bo'ladi. Interpolatsiyadan foydalanib, median qiymat ushbu median oraliqda topiladi: bu erda X Me - median intervalning pastki chegarasi;
h Men - uning qiymati;
(so'm m) / 2 - o'rtacha (mutlaq yoki nisbiy ko'rsatkichlarda) hisoblash uchun formulalarda tortishish sifatida ishlatiladigan kuzatuvlar umumiy sonining yarmi yoki ko'rsatkich hajmining yarmi; S Me-1 - median oraliq boshlanishidan oldin to'plangan kuzatishlar yig'indisi (yoki tortish belgisining hajmi);
m Me - kuzatuvlar soni yoki median oraliqdagi og'irlik xususiyatining hajmi (shuningdek, mutlaq yoki nisbiy jihatdan).
Bizning misolimizda hatto uchta o'rtacha qiymatni olish mumkin - korxonalar soni, ishlab chiqarish hajmi va ishlab chiqarishning umumiy qiymatiga qarab:
Shunday qilib, korxonalarning yarmi birlik qiymati 125,19 ming rubldan ortiq, ishlab chiqarishning umumiy hajmining yarmi mahsulotga xarajat darajasi 124,79 ming rubldan ortiq bo'lgan holda ishlab chiqariladi. va umumiy xarajatlarning 50% bir mahsulotning narxi 125,07 ming rubldan yuqori bo'lganda hosil bo'ladi. Shuningdek, biz tannarxning oshishiga ma'lum bir tendentsiya mavjudligini ta'kidlaymiz, chunki Me 2 = 124,79 ming rubl, o'rtacha darajasi esa 123,15 ming rubl.
Xususiyatning modal qiymatini intervalli qator ma'lumotlariga ko'ra hisoblashda, intervallar bir xil bo'lishiga e'tibor berish kerak, chunki X xususiyati qiymatlarining takrorlanuvchanlik ko'rsatkichi bunga bog'liq. .Teng intervalli intervalli qator uchun rejimning qiymati quyidagicha aniqlanadi
bu yerda X Mo modal intervalning pastki qiymati;
m Mo - kuzatuvlar soni yoki modal oraliqdagi tortish xususiyatining hajmi (mutlaq yoki nisbiy jihatdan); m Mo -1 - modaldan oldingi interval uchun bir xil;
m Mo + 1 - modaldan keyingi interval uchun bir xil; h - guruhlardagi belgining o'zgarishi oralig'ining qiymati. Bizning misolimiz uchun uchta modal qiymatni korxonalar sonining xususiyatlari, ishlab chiqarish hajmi va xarajatlar miqdori asosida hisoblash mumkin. Har uch holatda ham modal interval bir xil, chunki bir xil oraliqda korxonalar soni, ishlab chiqarish hajmi va ishlab chiqarish xarajatlarining umumiy miqdori eng.
Shunday qilib, ko'pincha ishlab chiqarish tannarxi darajasi 126,75 ming rubl bo'lgan korxonalar mavjud, ko'pincha mahsulot 126,69 ming rubl qiymatida ishlab chiqariladi va ko'pincha ishlab chiqarish xarajatlari 123,73 ming rubllik xarajatlar darajasi bilan izohlanadi.

2.