Mavzu: Aksiomatik usul. Evklid “Negizlari” aksiomatik usul. Evklid negizlar aksiomatik metod evklid negizlari

Matematika tili. Matematika ham o‘z alifbosiga egadir. Bu alifbo harflar, raqamlar va maxsus belgilardan tashkil etilib, ularning har biri o‘z navbatida yaxlit deb qabul qilingan belgilardan iboratdir. Matematik belgilar - matematikaga oid bilimlarni yozuvda ifodalash uchun qo‘llanadigan belgilardir. Hozirgi zamon matematikasining ko‘plab natijalarini rivojlangan va qulay belgilarsiz tasavvur qilish mumkin emas.

Keng ma’noda aytganda matematik til xuddi tabiiy tildek alifbo, so‘zlar, grammatika, bu tilda turli matnlardan tashkil topgan. Matematik tilda so‘zlar va grammatikaning analogi sifatida matematik belgilar, aksiomalar, teoremalar, ta’riflar, matnlar analogi sifatida esa matematik modellar deb qaralsa bo‘ladi.

Xalqaro matematika ittifoqi tomonidan nashr qilingan “Matematika: chegaralari va istiqbollari”  nomli kitobda quyidagi ta’rif keltirilgan^[6]:

         Matematika – bu o‘ziga xos bo‘lgan grammatik qoidalari yordamida chekli alfavit belgilarining chekli zanjirlarini boshqa shunday zanjirlarga almashtirishlarni o‘rganadigan tilshunoslikning bo‘limi.

Tabiiy tillardan farqli tomoni shundaki, bu maxsus til grammatikasida «1 + 2»  belgilar zanjiri o‘rniga «3» belgisini qo‘yish qoidasiga o‘xshash qoidalar bisyor.

Matematik tilning afzalliklari:

1.     Maxsus belgilar yordamida fikrlash madaniyatini egallagashga, fikrlarni ketma-ket, mantiqan to‘g‘ri, aniq va ratsional ifodalashga imkon yaratadi

2.     Tevarak atrofimizdagi voqea va hodislarni ongli o‘rganish uchun katta imkoniyatlarga ega.

Tafakkur – voqelikni bilishdan iborat bo‘lgan aqliy faoliyatning yuksak shakli. Matematikada tafakkur yuritish mantiqiyqonunlar asosida amalga oshiriladi.

Matematik tafakkur deganda o‘zaro bog‘langan  mantiqiy amallar majmuasi tushuniladi; matematik tilning belgi sistemalari bilan ishlash; fazoviy tasavvurni qabul qilish; shuningdek «xususiy xollarda aniqlangan, qonuniyatlarni umumlashtirish; induktiv isbotlar; analogiya bo‘yicha isbotlar; muayyan xollarda matematik tushunchalarni topish yoki ular asosida shunday xollarni ko‘rish» (D.Poya).

Shuni aytish lozimki, matematik taffakur faqat mantiqiy amallarga tayanmaydi. Masalani to‘g‘ri qo‘yilishi hamda uning yechimini tanlab olishni baholash uchun matematik intuitsiya muhim rol o‘ynaydi.

Ta’rif —avvaldan ma’lum tushunchalar asosida yangi tushuncha kiritishga xizmat qiladigan matematik jumla.

Ta’riflash quyidagi asosiy vazifalarni hal qilishda yordam beradi:

1)  tushunchada aks etuvchi predmetning muhim belgilarini ko‘rsatadi;

2) tushunchani ifoda qiluvchi so‘zning (terminning) ma’nosini ochib beradi;

3) termin hosil qilishga imkon beradi. Ta’rifda odatda “deyiladi” (yoki “deb ataladi”, “deb yuritiladi” va h.k.) so‘zlari ishtirok etadi.

Isbot — mulohaza, hukm, nazariyaning chinligini aniqlash (asoslash). Isbotning ob’yektiv metod orqali manti­qiy ishonchga olib boradigan turi va inson his-tuyg‘ulari, mayllariga asoslanib ruhiy ishonchga olib keladigan turi mavjud. Mantiqiy isbotning tuzilish jihatdan tezis (isbotlanishi kerak bo‘lgan fikr), asos (tezisni isboti uchun keltirilgan dalillar) isbotidan iborat. Isbot fan va amaliyotda doim qo‘llanadigan fikrlash usulidir.

Matematikadamulohaza yuritishning deduksiya va induksiya deb nomlangan ikki muhim usuli mavjud.

Induksiya  — ayrim fikrlardan umumiy xulosalar chiqarishda va mantiqiy tadqiqotlarda qo‘llaniladigan muhokama usuli. Xususiylikni o‘rganib, umumiylik bilib olinadi. Umumiylik pred­met va hodisalar bilan uzviy aloqada bo‘ladi. Induksiya bilimlarning tashkil topishida, qonuniyatlarni ochishda, tushunchalarni maydonga chiqarish jarayonida, gipotezani olg‘a surishda fan uchun muhim ahamiyatga ega.

Deduksiya  — mantiq qoidalariga ko‘ra xulosa chiqarish. Dastlab formal mantiqda umumiylikdan xususiylik, ayrimlik tomon muhokama yuritish deduksiya deb atalgan. Masalan, “All men are mortal” va “Socrates is a man” degan ikki hukmdan deduktiv yo‘l bilan «Socrates is mortal» degan yangi hukm (xu­losa) chiqariladi.

Hozirgi zamon fanida «Deduksiya» termini keng ma’noda qo‘llanilib, muayyan hukmdan mantiq qonunlari asosida xulosa chiqarish tushuniladi. Agar asos qilib olingan hukm haqiqiy va deduksiya qonunlariga rioya qilingan bo‘lsa, undan chiqariladigan xulosa ham haqiqiy bo‘ladi.

O‘z-o‘zidan ravshanligi, ayonligi sababli isbotsiz qabul qilinadigan holat, tasdiq, fikr aksioma deb atalishini eslatib o‘tamiz. 

Deduktiv me­tod turli shakllarda, xususan aksio­matik metod, shuningdek, gipotetik — deduktiv metod shaklida uchraydi. Mavjud faktik materiallardan deduk­tiv yo‘l bilan nazariya yaratishda asos bo‘ladigan fikrlar majmuasi (aksio­ma va boshqalar) tanlab olinib, mantiq qo­nunlari asosida ulardan boshqa bilimlar hosil qilinadi.