Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechishda vatarlar va oraliqni teng ikkaga bo`lish samaradorlik bo’yicha taqqoslash. Mundarija

1)f ( x ) = 0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror usul (masalan, grafik usul) bilan aniqlaymiz.

2) [a,b] da f ( x ) ning uzluksizligi va f ( a )*f ( b ) < 0 shart bajarilishini tekshiramiz.

3) Tenglamani quyidagi :

ko‘rinishga keltirib,  ekanligini hamda [a;b] da

mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.

4
) Agar q<1 bo‘lsa,
xn =(xn−1) boshqacha
ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.

5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni shart bajarilguncha davom ettiramiz.

6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10-4 aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

1. 
   x = x + (5x³ - 20x + 3) bunda φ ( x ) = 5x³ - 19x +3
   
2. 
   X = bunda
   
3. 
   X= bunda bo`ladi.
   

Bundan tashqari,
funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,
s
hartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.

[0,1] intervaldan olingan x0 nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x0=0.5;

Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz:

Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekan.

ni hisoblaymiz va shartni tekshiramiz.

Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.

Algebraik va trantsendent tenglamalar ildizlarini taqribiy hisoblash usullaridan aniqlik darajasi boshqa usullarga nisbatan kattarok bo’lgan usuli Nyuton yoki urinmalar usulidir.Bu usul qo`llanganda tenglamaning boshlang`ich yechimi x₀ tanlab olinadi va ketma–ket yaqinlashishlar formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0,1,2,3,... yaqinlashishlar tartib soni, х_n ildizga n yaqinlashish. Agar f(a)*f”(а)>0 shart bajarilsa х₀=а boshlang`ich yechim deb olinadi, agar yuqoridagi shart bajarilmasa x<sub>0</sub>=b nuqta boshlang`ich yechim qilib olinadi. Bu usulda ham ildizni topish | x_n-x_n-1 | ≤ ε shart bajarilgunga qadar davom etiriladi.

Ushbu dasturni kompyuterga kiritib natijalar olinganda x²-x-1=0 tenglamaning x₀=b=2,5 boshlang`ich nuqtadagi va =0,0001 aniqlikdagi ildizi х=1,6180 ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin. Buni esa berilgan chizmadan ham ko’rish mumkin.