Mavzu: Algebraik va transtsendent tenglamalarni yechishda oraliqni teng ikkiga bo‘lish, iteratsiya usullari. Tenglamalarni yechishda vatarlar va Nyuton usullari. Yaqinlashish tezligi Maqsad

2-laboratoriya ishi.
Mavzu: Algebraik va transtsendent tenglamalarni yechishda oraliqni teng ikkiga bo‘lish, iteratsiya usullari. Tenglamalarni yechishda vatarlar va Nyuton usullari. Yaqinlashish tezligi
Maqsad: Talabalar transendent tenglamalarni yechishda qiymatlarini taqribiy hisoblashni o‘rganishi, tenglamalar taqribiy qiymatlarini topishda ketma-ket yaqinlashish va kesmani ikkiga bo’lish usullarini o‘rganishi, bu usullar haqida bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘lishi hamda mustaqil masalalar yechishi va shu masalaga mos algoritmlar qura olishi kerak.
Laboratoriya ishini bajarish uchun zarur jihozlar. Zarur dasturiy ta’minot (C++ dasturlash tili kompilyatori, matn muharriri) o‘rnatilgan personal kompyuter, laboratoriya ishini bajarish bo‘yicha (ushbu) uslubiy ko‘rsatma

Zarur nazariy ma’lumotlar.

Ushbu laboratoriya ishi massivlarni qayta ishlash uchun mo‘ljallangan algoritmlarni ishlab chiqish, psevdokod va blok-sxema ko‘rinishida ifodalash, dasturlashtirish va testlash malakalarini egallashga bag‘ishlangan. Ushbu laboratoriya ishlari transendent tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan foydalanish talab etiladi.

Ketma-ket yaqinlashish(iteratsiya) usuli

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=(x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.
2.1-teorema. Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x=(x) tenglamaning yagona x = t yechimi mavjud va bu yechim qanday tanlanishidan qatiy nazar
t₁=(t₀) , t₂=(t₁) ,. . . , t_n=(t_n-1),…
formulalar bilan aniqlanadigan { t_n } ketma – ketlikning limitidan iborat bo‘ladi.
B erilgan f(x) = 0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=(x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.


Bu yerda, t0 qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0 - yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3) Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma - ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 <(1-q)/q shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
Birinchi shaklda >0 bo‘lganda pog‘anasimon va ikkinchi shaklda <0 bo‘lganda speralsimon yaqinlashish bo’lganda yaqinlashuvchiligini ko‘ramiz.