Mavzu: Algebraik va transtsendent tenglamalarni yechishda oraliqni teng ikkiga bo‘lish, iteratsiya usullari. Tenglamalarni yechishda vatarlar va Nyuton usullari. Yaqinlashish tezligi Maqsad

Kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli

2.2 - teorema . Aytaylik,
1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin;
2) f(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin;
3) f`(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
U holda, f(x)=0 tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.

f(x)=0 tenglama berilgan bo‘lsin. [a,b] kesmada u=f(x) funksiya 2.2 - teoremaning barcha shartlarini qanoatlantirsin.

1. 
   Bu holda, [a,b] kesmani t₀=(a+b)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz:
   

agar f(t₀)=0 bo‘lsa, x=t₀ yechim bo‘ladi.
f(t₀) 0 bo‘lgan holda, agar f(a)f(t₀)<0 bo‘lsa, x=t ildiz [a₁,b₁]=[a,t₀] oraliqda, aks holda [a₁, b₁]=[t₀, b] oraliqda yotadi.
2) x=t₀ aniq yechim bo‘lmagan holda [a₁,b₁] oraliqni t₁=(a₁+b₁)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz:
agar f(t₁)=0 bo‘lsa, x=t₁ yechim bo‘ladi.
f(t₁) 0 bo‘lgan holda, agar f(a₁)f(t₁)<0 bo‘lsa, x=t ildiz [a₂,b₂]=[a₁, t₁] oraliqda, aks holda [a₂, b₂]=[t₁, b₁] oraliqda yotadi.

3. 
   Bu jarayonni takrorlash natijasida biror qadamda ma’lum aniqlikdagi taqribiy ildizni olamiz. Aniq ildiz olinmagan taqdirda, jarayonni takrorlashni cheksiz davom ettirib, {tn} ketma-ketlikni olamiz. Hosil qilingan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti f(x)=0 tenglamaning ildizidan iborat bo‘ladi.
   

Berilgan aniqlikdagi taqribiy ildizni olish uchun jarayonni shart bajarilguncha davom ettirish kifoya bo‘lib, taqribiy ildiz sifatida
x= (a_n +b_n)/2
ni qabul qilamiz.