Mavzu: Amaliy masalalarni modellash Reja

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Tenglamalar tizimi yoki arifmetik munosabatlar yoki geometrik raqamlar yoki ikkalasining kombinatsiyasi sifatida, matematika yordamida o'rganish haqiqiy dunyo ob'ektining ma'lum bir xossalari to'plamining xususiyatlariga oid savollarga javob berishi kerak. o'rganilayotgan jarayon, ob'ekt yoki tizimga xos bo'lgan asosiy qonuniyatlarni tavsiflovchi matematik munosabatlar, tenglamalar, tengsizliklar to'plami.
Avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimlarida boshqaruvchining ishlash algoritmini aniqlash uchun matematik modeldan foydalaniladi. Ushbu algoritm boshqaruv maqsadiga erishish uchun masterdagi o'zgarishlarga qarab boshqaruv harakatini qanday o'zgartirish kerakligini aniqlaydi.
MODEL TASNIFI
MODELLARNING RASMIY TASNIFI
Modellarning rasmiy tasnifi ishlatiladigan matematik vositalarning tasnifiga asoslanadi. Ko'pincha dichotomiyalar shaklida qurilgan. Masalan, dixotomiyalarning mashhur to'plamlaridan biri:
va boshqalar. Har bir tuzilgan model chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan, deterministik yoki stokastik, ... Tabiiyki, aralash tiplar ham mumkin: bir jihatdan konsentrlangan (parametrlar bo'yicha), boshqasida taqsimlangan modellar va boshqalar.
OB'EKTNI TASVIRLASH USULI BO'YICHA TASNIFLASH
Rasmiy tasniflash bilan bir qatorda, modellar ob'ektni ifodalash usuli bilan farqlanadi:
Strukturaviy yoki funktsional modellar
Fandagi model-gipotezalarni bir marta isbotlab bo'lmaydi, faqat tajriba natijasida ularni inkor etish yoki rad etmaslik haqida gapirish mumkin.
Agar birinchi turdagi model qurilgan bo'lsa, demak, bu vaqtinchalik haqiqiy deb tan olingan va boshqa muammolarga e'tibor qaratish mumkin. Biroq, bu tadqiqot nuqtasi bo'lishi mumkin emas, faqat vaqtinchalik pauza: birinchi turdagi modelning holati faqat vaqtinchalik bo'lishi mumkin.
FENOMENOLOGIK MODEL
Ikkinchi tur - fenomenologik model ( "Biz xuddi shunday harakat qilamiz ..."), hodisani tavsiflash mexanizmini o'z ichiga oladi, garchi bu mexanizm etarlicha ishonarli bo'lmasa ham, mavjud ma'lumotlar bilan etarli darajada tasdiqlanmaydi yoki mavjud nazariyalar va ob'ekt haqida to'plangan bilimlarga mos kelmaydi. Shuning uchun fenomenologik modellar vaqtinchalik echimlar maqomiga ega. Javob hali noma'lum va "haqiqiy mexanizmlarni" qidirish davom etishi kerak, deb ishoniladi. Peierls, masalan, ikkinchi turga elementar zarrachalarning kaloriya modeli va kvark modelini nazarda tutadi.
Tadqiqotda modelning roli vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin, yangi ma'lumotlar va nazariyalar fenomenologik modellarni tasdiqlashi va ular gipoteza maqomiga ko'tarilishi mumkin. Xuddi shunday, yangi bilimlar asta-sekin birinchi turdagi model-gipotezalarga zid kelishi mumkin va ular ikkinchisiga o'tkazilishi mumkin. Shunday qilib, kvark modeli asta-sekin gipotezalar toifasiga o'tadi; fizikada atomizm vaqtinchalik yechim sifatida paydo bo'ldi, ammo tarix davomida u birinchi turga o'tdi. Ammo efir modellari 1-turdan 2-toifaga o'tdi va endi ular fandan tashqarida.
Modellarni qurishda soddalashtirish g'oyasi juda mashhur. Ammo soddalashtirish boshqacha. Peierls modellashtirishda soddalashtirishning uch turini ajratadi.
TAXMINLASH
Uchinchi turdagi modellar - bu taxminlar ( "Biror narsa juda katta yoki juda kichik deb hisoblanadi"). Agar o'rganilayotgan tizimni tavsiflovchi tenglamalar qurish mumkin bo'lsa, bu ularni hatto kompyuter yordamida ham yechish mumkin degani emas. Bu holatda keng tarqalgan usul - bu taxminiylikdan foydalanish (3-toifa modellar). Ular orasida chiziqli javob modellari. Tenglamalar chiziqli tenglamalar bilan almashtiriladi. Standart misol- Ohm qonuni.
FIKRLASH TAJRIBASI
m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),
qayerda x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) ning ikkinchi hosilasini bildiradi x (\displaystyle x) vaqt bo'yicha: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).
Olingan tenglama ko'rib chiqilayotgan fizik tizimning matematik modelini tavsiflaydi. Ushbu naqsh "harmonik osilator" deb ataladi.
Rasmiy tasnifga ko'ra, bu model chiziqli, deterministik, dinamik, konsentrlangan, uzluksizdir. Uni qurish jarayonida biz ko'p taxminlar qildik (yo'qligi haqida tashqi kuchlar, ishqalanishning yo'qligi, og'ishlarning kichikligi va boshqalar), bu haqiqatda bajarilmasligi mumkin.
Haqiqatga kelsak, bu ko'pincha 4-toifa modeldir. soddalashtirish(“Aniqlik uchun baʼzi tafsilotlarni oʻtkazib yuboramiz”), chunki baʼzi muhim universal xususiyatlar (masalan, tarqalish) oʻtkazib yuborilgan. Ba'zi bir taxminlarda (aytaylik, yukning muvozanatdan og'ishi kichik bo'lsa, ozgina ishqalanish bilan, juda uzoq vaqt bo'lmagan va boshqa ma'lum shartlarga bog'liq bo'lsa), bunday model haqiqiy mexanik tizimni juda yaxshi tasvirlaydi, chunki tashlab yuborilgan omillar, uning xatti-harakatlariga ahamiyatsiz ta'sir ko'rsatadi. Biroq, ushbu omillarning ba'zilarini hisobga olgan holda modelni takomillashtirish mumkin. Bu kengroq (yana cheklangan bo'lsa ham) yangi modelga olib keladi.
Biroq, model takomillashtirilganda, uni matematik o'rganishning murakkabligi sezilarli darajada oshishi va modelni deyarli foydasiz qilishi mumkin. Ko'pincha oddiyroq model sizga murakkabroq (va rasmiy ravishda "to'g'riroq") ko'ra haqiqiy tizimni yaxshiroq va chuqurroq o'rganishga imkon beradi.
Agar biz harmonik osilator modelini fizikadan uzoq bo'lgan ob'ektlarga qo'llasak, uning mazmunli holati boshqacha bo'lishi mumkin. Misol uchun, ushbu modelni biologik populyatsiyalarga qo'llashda uni 6-turga kiritish kerak analogiya("Faqat ba'zi xususiyatlarni hisobga olamiz").
QATTIQ VA YUMSHOQ MODELLAR
Garmonik osilator "qattiq" deb ataladigan modelga misoldir. U haqiqiy jismoniy tizimni kuchli ideallashtirish natijasida olinadi. Garmonik osilatorning xususiyatlari kichik tebranishlar bilan sifat jihatidan o'zgaradi. Masalan, o'ng tomonga kichik atama qo'shsak − e x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\nuqta (x)))(ishqalanish) ( e > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- ba'zi bir kichik parametr), agar biz qo'shimcha atama belgisini o'zgartirsak, biz eksponensial ravishda so'yilgan tebranishlarni olamiz. (e x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\nuqta (x)))) keyin ishqalanish nasosga aylanadi va tebranish amplitudasi eksponent ravishda ortadi.
Qattiq modelning qo'llanilishi masalasini hal qilish uchun biz e'tiborsiz qoldirgan omillar qanchalik muhimligini tushunishimiz kerak. Qattiq modelning kichik buzilishi natijasida olingan yumshoq modellarni tekshirish kerak. Garmonik osilator uchun ular, masalan, quyidagi tenglama bilan berilishi mumkin:
m x ¨ = − k x + e f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\nuqta (x)))).
Bu yerda f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\nuqta (x))))- ishqalanish kuchini yoki prujinaning qattiqlik koeffitsientining uning cho'zilish darajasiga bog'liqligini hisobga oladigan ba'zi funksiya. Funksiyaning aniq shakli f (\displaystyle f) bizni hozir qiziqtirmayapmiz.
Agar yumshoq modelning xatti-harakati qattiq modeldan tubdan farq qilmasligini isbotlasak (bezovta qiluvchi omillarning aniq shaklidan qat'i nazar, agar ular etarlicha kichik bo'lsa), muammo qattiq modelni o'rganishga qisqaradi. Aks holda, qattiq modelni o'rganishda olingan natijalarni qo'llash qo'shimcha tadqiqotlarni talab qiladi.
Agar tizim kichik tebranish ostida o'zining sifatli harakatini saqlab qolsa, u tizimli barqaror deyiladi. Garmonik osilator tizimli ravishda beqaror (qo'pol bo'lmagan) tizimga misoldir. Biroq, bu model cheklangan vaqt oralig'idagi jarayonlarni o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.
MODELLARNING UNIVERSALLIGI
Eng muhim matematik modellar odatda muhim xususiyatga ega universallik: tubdan farq qiladigan real hodisalarni bir xil matematik model orqali tasvirlash mumkin. Masalan, garmonik osilator nafaqat prujinadagi yukning harakatini, balki boshqa tebranish jarayonlarini ham tasvirlaydi, ko'pincha butunlay boshqacha xarakterga ega: mayatnikning kichik tebranishlari, suyuqlik darajasidagi tebranishlar. U (\displaystyle U)-shaklidagi idish yoki tebranish pallasida oqim kuchining o'zgarishi. Shunday qilib, bitta matematik modelni o'rganib, biz bir vaqtning o'zida u tomonidan tasvirlangan hodisalarning butun sinfini o'rganamiz. Turli segmentlarda matematik modellar tomonidan ifodalangan qonunlarning ana shu izomorfizmidir ilmiy bilim, Lyudvig fon Bertalanffining “umumiy tizimlar nazariyasi”ni yaratishdagi jasorati.
MATEMATIK MODELLASHTIRISHNING BEVOSITA VA TESKARI MASALALARI
Matematik modellashtirish bilan bog'liq ko'plab muammolar mavjud. Birinchidan, modellashtirilayotgan ob'ektning asosiy sxemasini ishlab chiqish, uni ushbu fanning ideallashtirishlari doirasida takrorlash kerak. Shunday qilib, vagon turli xil materiallardan yasalgan plitalar va murakkabroq jismlar tizimiga aylanadi, har bir material uning standart mexanik idealizatsiyasi (zichlik, elastik modullar, standart mustahkamlik xususiyatlari) sifatida belgilanadi, shundan so'ng yo'l davomida tenglamalar tuziladi. ba'zi tafsilotlar ahamiyatsiz deb tashlanadi, hisob-kitoblar amalga oshiriladi, o'lchovlar bilan taqqoslanadi, model takomillashtiriladi va hokazo. Biroq, matematik modellashtirish texnologiyalarini ishlab chiqish uchun ushbu jarayonni uning asosiy tarkibiy elementlariga ajratish foydalidir.
An'anaga ko'ra, matematik modellar bilan bog'liq muammolarning ikkita asosiy sinfi mavjud: to'g'ridan-to'g'ri va teskari.