Mavzu: Bir jinsli va unga keladigan differensial tenglamalar. Fan: Differensial tenglamalar

Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar. Amaliy masalalarga tadbiqi (Ko’zgu masalasi).
Reja:

4. 
   Bir jinsli funksiya tushunchasi.
   
5. 
   Bir jinsli tenglama va uni yechish usuli.
   
6. 
   Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
   

Quyidagi differensial tenglama berilgan bo’lsin.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)

Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funtsiyalar bo’lsa, u holda (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Matematik analiz kursidan ma’lumki, berilgan f(x,y) funksiya n - tartibli bir jinsli funksiya deyiladi, agar ixtiyoriy t uchun

f(tx,ty)= (2)

tenglik o’rinli bo’lsa.

Endi ushbu ma’lumotdan foydalanib, (1) tenglamani tahlil etamiz

(2) tenglikda t= almashtirish bajaramiz

f (1,
yoki
(3)
(3) formuladan foydalanib ( 1 ) ni quyidagicha yozamiz .

Demak bir jinsli tenglama

. (4)

Bu tenglamadan ko’rinadiki, koordinata boshida birorta ham integral chiziq o’tmaydi.

Bir jinsli tenglamani yechish uchun

y=zx (5)
almashtirish qilamiz, bunda z=z(x) yangi noma’lum funksiya (5) ni (4) tenglamaga qo’yamiz, buning uchun
dy=xdz+zdx ( )
ko’rinishda yozish mumkin.
Differensialni (hosilani ) topamiz.

soddalashtirsak ,

(z)

yoki

ko’rinishga keladi,
Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir, so’ngi tenglamani integrallab
F(z,x,c)=0
funksiyani olamiz.
So’ng (5) almashtirishdan z ni topib
F( yoki F(x,u,s)=0
umumiy integralga ega bo’lamiz.
MISOL: Tenglamani yeching.

avvalo bu tenglama bir jinsli ekanligini ko’rsatamiz. (2) formulaga ko’ra x=xt , y=yt deb olamiz

bundan kelib chiqadiki,

bo’lib m=2 bo’ladi. U holda berilgan tenglama uchun y=zx almashtirish qilish mumkin.

Bundan dy=zdx+xdz bo’lib, tenglamaga qo’yilsa

a)
integrallab, topamiz:
yoki
yoki x(y-1)=yc.
b) bo’lsa, u holda

bo’lib , z=0, z=1 undan yuqoridagi almashtirishga ko’ra
ifodalarga ega bo’lamiz.
Demak umumiy integral .
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
(6)
ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s₁ va s₂ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:
bo’lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x₀, u=u₀ yechimni topamiz va
(7)
almashtirish bajaramiz. (7) almashtirishni (6) tenglamaga qo’ysak

,
ko’rinishga keladi.
Bundan (4) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

bo’lsa, u holda
tenglikka ega bo’lamiz.
Bundan esa
bo’ladi. (6) tenglamaga qo’ysak
( 8 )
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(8) tenglamada z=a₂x+b₂y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni ajraladigan tenglamaga hosil bo’ladi.

Tekshirish uchun savollar

1. 
   tenglama qanday yechiladi.
   

2. 
   tenglamani yeching.
   
3. 
   tenglamani yeching.
   
4. 
   tenglamani yeching.
   
5. 
   Bir jinsli funksiya tushunchasi.
   
6. 
   Bir jinsli tenglama ko’rinishi.
   
7. 
   Bir jinsli tenglamaga keltiriladigan tenglamalar.
   
8. 
   Umumlashgan bir jinsli tenglamani bir jinsli tenglamaga keltirish usuli.
   
9. 
   tenglamani yeching.