Mavzu: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar reja: Birinchi egri chiziqli integral

MAVZU: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar


REJA:

• 
  Birinchi egri chiziqli integral
  
• 
  Ikkinchi tur egri chiziqli integrali
  

• 
  Birinchi egri chiziqli integral
  

Ma’lumki, integral matematik analizning muhim tushunchalaridan hisoblanadi. Uning umumlashtirishlaridan biri ma’ruzalarda bayon etilgan ikki o’zgaruvchili funksiyaning tekislikdagi to’plam boyicha ikki karrali integralidir. Ayni paytda, ikki o’zgaruvchili funksiya integralini boshqacha umumlashtirish (bu konkret amaliy masalalarni hal qilishda zarur ekanligidan kelib chiqqan) ham mumkin. Quyida keltiriladigan egri chiziqli integral shular jumlasidandir. 1 0 . Birinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. Tekislikda sodda uzunlikka ega bo’lgan A B  egri chiziqni qaraylik. (1-chizma)



Bu egri chiziqda A dan V ga qarab yo’nalishni musbat yo’nalish deb, uning
A0 , A1 ,..., An 1 , An ( A0 A, An B ) nuqtalar yordamida hosil qilingan
P { A0 , A1 ,..., An 1 , An }
bo’laklashini olamiz. Natijada A B
egri chiziq
Ak Ak 1( k 0 ,1,2 ,..., n 1)
bo’lakchalarga ajraladi. Uning uzunligini S k n k ( 0 ,1, 2 , ..., 1) deyilsa P
bo’laklashning diametri p k m ax{ }
k
S bo’ladi. Aytaylik, bu A B

egri chiziqda f ( x , y ) funksiya aniqlangan bo’lsin.
(( x, y ) A B ).

Har bir
Ak Ak 1

da ixtiyoriy (k ,k ) nuqtani olib, so’ng bu nuqtadagi
f ( x , y ) funksiyaning qiymati f (k ,k ) ni S k ga ko’paytirib ushbu
1 0 ( , ) n k k k k f S 
yig’indini hosil qilami.

Ta’rif. Agar 0 olinganda ham shunday 0 son topilsaki, A B egri

chiziqning diametri
bo’lgan har qanday P bo’laklash uchun tuzilgan 
yig’indi ixtiyoriy ( k , k ) Ak Ak 1
nuqtalarda
J 
tengsizlikni bajarsa, f ( x , y ) funksiya A B
egri chiziq boyicha integrallanuvchi
deyilib, J son esa f ( x , y ) funksiyaning A B
egri chiziq boyicha birinchi tur egri
chiziqli integrali deyiladi. U
B A f x y ds
k abi belgilanadi. Demak 

Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadik

Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, f ( x , y ) funksiya-ning birinchi tur egri
chiziqli integrali A B
egri chiziq-ning yo’nalishiga bog’liq bo’lmaydi
2 0. Birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash.
Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan ko’rinadiki, u berilgan f ( x , y ) funksiya
va A B egri chiziqqa bog’liq bo’ladi.
F araz qilaylik, A B

sodda silliq egri chiziq ushbu
tenglamalar sitemasi bilan aniqlangan va
A  ( x ( ), y (  )), B  ( x (  ), y (  ))
bo’lsin. Shu egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan.
Teorema. Agar f ( x , y ) funksiya A B da uzluksiz bo’lsa, u holda birinchi tur
egri chiziqli integral
 B
A
f x y ds
( , )
mavjud bo’lib,
f x y ds f x t y t x t y t dt A B
 ( , )   ( ( ), ( )) 2 ( )  2 ( ) 
bo’ladi. [ ,  ] segmentning