Mavzu: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar reja: Birinchi egri chiziqli integral

P  {t0 , t1 ,..., t n 1 , t n } (t0   , t n   )
bo’laklashi A B egri chiziqda
Ak  ( x (t k ), y (t k )) ( k  0 ,1,2 ,..., n)
nuqtalarni hosil qilib, u o’z navbatida A B egri chiziqning
{ , ,..., , } ( , )
P  A0 A1 An 1 An A0  A An  B
bo’laklashini yuzaga keltiradi.
Bu bo’laklashga nisbatan quyidagi
( k , k ) Ak Ak 1, S k esa A k A k 1
yig’indini tuzamiz. Bunda ( k , k )  Ak Ak 1
  ,  S k esa A k A k 1
egri chiziq uzunligi.
Ma’lumki

bo’ladi.O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: bo’ladi.O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Endi
 k  x ( k ),  k  y ( k )
deb qaraymiz. Ravshanki ( k , k )  Ak Ak 1

  Modomiki f ( x , y ) funksiya
A B

egri chiziqda berilgan ekan, unda f ( x , y )  f ( x (t ), y (t )) bo’ladi. Natijada (1)
yig’indi ushbu
ko’rinishga keladi. x (t ) , y (t ) funksiyalar [ ,  ] da uzluksiz bo’lganligi sabali
max  k   0
k
t da  max  k   0
bo’ladi. Yana
f ( x (t ), y (t )) x (t )  y 2 (t )

funksiya da uzluksiz bo’lganligi uchun u da integrallanuvchi bo’ladi.

(2) tenglikda limitga o’tib topamiz.

Bu teorema birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligini ifodalash bilan

birga uni hisoblash imkonini ham beradi 1-natija. Aytaylik, A B

egri chiziq y  y ( x ) ( a  x  b ) tenglama bilan
aniqlangan bo’lib, y ( x ) funksiya [ a , b ] da uzluksiz hamda uzluksiz y ( x ) hosilaga
ega bo’lsin ( y a   A , y b   B ).
Agar f ( x , y ) funksiya esa shu A B 
egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, 
A B
f x y ds ( , )
birinchi tur egri chiziqli integral mavjud bo’lib
y k 1
f x y ds f x y x y x dx
A B b a  ( , )   ( , ( )) 1  2 ( ) 
(4)
bo’ladi

Ikkinchi tur egri chiziqli integral

10. Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. Tekislikda (sodda)
uzunlikka ega bo’lgan A B

egri chiziqni qaraylik (2-chizma)

2-chizma Bu egri chiziqning biror P  A0 , A1 , A 2 ,..., A n  ( A0  A , A n  B ) bo’laklashini olamiz. Natijada A B egri chiziq Ak Ak 1 (k  0,1,2,... n  1)  bo’lakchalarga ajraladi. Ak Ak 1 proyeksiyalari mos ravishda va bo’lsin:

OX OY koordinatalar o’qlardagi
 x k  y k пр ox Ak Ak 1   x k , пр oy Ak Ak 1   y k ( k  0,1,2,... n  1).
 
Aytaylik, A B

egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan b o’lsin. Har bir Ak Ak 1

da ixtiyoriy ( k , k ) nuqtalarni olib, so’ng bu nuqtadagi funksiyaning qiymati
f ( k , k ) ni  x k va  y k larga ko’paytirib, quyidagi
пр ox Ak Ak 1   x k , пр oy Ak Ak 1   y k ( k  0,1,2,... n  1).
yig’indilarni hosil qilamiz. Bu yig’indilar f ( x , y ) funksiyaga bog’liq bo’lishi bilan
birga A B

egri chiziqni bo’laklashga hamda har bir Ak Ak 1

da olingan ( k , k )
nuqtalarga bog’liq bo’ladi 1-ta’rif. Agar    0 olinganda ham shunday   0 son topilsaki, A B

egri
chiiqning diametri   
p
bo’lgan har qanday P bo’laklash uchun tuzilgan  1 ( 2 )
yig’indi ixtiyoriy ( k , k )  Ak Ak 1

  nuqtalarda
 1  J 1   (  2  J 2   )
tengsizlik bajarilsa, f ( x , y ) funksiya A B

egri chiziq boyicha integrallanuvchi, J 1
son ( J 2 son) esa f ( x , y ) funksiyaning i kkinchi tur egri chiziqli integrali d eyiladi.

kabi belgilanadi. Demak,

Keltirilgan ta’rifdan quyidagi kelib chiqadi:

A ytaylik, A B

egri chizig’ida P ( x , y ) va Q ( x , y ) funksiyalar berilgan bo’lib,
  A B A B P x y dx Q x y dy   ( , ) , ( , ) lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari
bo’lsin. Ushbu
   A B A B P x y dx Q x y dy   ( , ) ( , )
yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deyiladi va
P x y dx Q x y dy
A B  ( , )  ( , )
kabi belgilanadi:     
A B A B A BP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2) f ( x , y ) funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari A B

egri
chiziqning yo’nalishiga bog’liq bo’lib,
    B A A Bf x y dx f x y dx ( , ) ( , ) ,   B A A Bf x y dy f x y dy ( , ) ( , )bo’ladi.
3) Agar A B

egri chiziq OX koordinatalar o’qiga (OY kordinatalar o’qiga)
perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq kesmadan iborat bo’lsa
 ( , )  0  ( , )  0
B A ,A B
f (x y dy f x y dy)
 
bo’ladi. Aytaylik, K A B

 sodda yopiq egri chiziq bo’lsin. Bu holda
A va B nuqtalar ustma-ust tushadi chizma
3 -chizma
Yopiq egri chiziq K da chizmada ko’rsatilganidek ikki yo’nalish bo’lib, ulardan biri musbat ikkinchisi esa manfiy bo’ladi.
Agar kuzatuvchi K chiziq boyicha xarakatlanganda K bilan chegaralangan
to’plam har doim chap tomonda qolsa bunday yo’nalish musbat bo’ladi, aks holda
esa manfiy bo’ladi.
Shu K egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan bo’lsin. K chiziqda ixtiyoriy
ikki A va B nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalar K egri chiziqni ikkita A n B va B m A
egri chiziqlarga ajratadi.,

1-masala. R L f(x, y)dS egri chiziqli integral hisoblansin.L chiziq O(0, 0) va A(1, 3) nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi,f(x, y) = x + y. Yechish. L chiziq tenglamasini tuzib olamiz:y = 3x, 0 ≤ x ≤ 1. Demak chiziq tenglamasi oshkor ko’rinishida y = y(x) ko’rinishda ifodalanayapti. U holda, 1-holdagi formulani qo’llashimiz mumkin: Z AB f(x, y)dS = Z b a f(x, y(x))q 1 + [y 0(x)]2 dx = = Z 1 0 (x + 3x) p 1 + 3 2dx = √ 10 Z 1 0 4xdx = 2 √ 10.

3-masala. R L p x 2 + y 2dS integralni hisoblang, bu yerda L : x 2 + y 2 − 2ax = 0 – aylana. Yechish. Qutb koordinatalariga o’tamiz: x = ρ cos φ y = ρ sin φ ) ρ = 2α cos φ, − π 2 ≤ φ ≤ π 2 . Buni e’tiborga olsak, R L p x 2 + y 2dS = = π Z2 − π 2 q ρ 2cos2φ + ρ 2sin2φ q 4α2cos2φ + 4α2sin2φ dφ = = π Z2 − π 2 ρ · 2αdφ = 2α π Z2 − π 2 2α cos φdφ = 8α 2
Amaliy topshiriqlar 1 R Γ ds integral hisoblansin, bu yerda Γ-(0; 0) va (1; 2) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma. 2 R Γ (2x + y) ds integral hisoblansin, bu yerda Γ-ABOA siniq chiziq:A(1; 0), B (0; 2), O (0; 0). 3 R Γ (x + y) ds integralni hisoblang, bu yerda Γ- uchlari (0; 0), (0; 1),(1; 0) nuqtalarda bo’lgan uchburchak chegarasi. 4 R Γ ds y−x integralni hisoblang, bu yerda Γ - oxirlari (0; −2) va (4; 0)nuqtalarda bo’lgan kesma. 5 R Γ √ ds x 2+y 2+4 integralni hisoblang, bu yerda Γ - oxirlari (0; 0) va (1; 2)nuqtalarda bo’lgan kesma. Azizbek Mamanazarov Birinchi tur egri chiziqli integral O’zingizni sinab ko’ring: 1 6.R Γ xyds egri chiziqli integral hisoblansin bu yerda Γ - a)Uchlari (1;0),(0;-1), (-1;0) va (0;-1) nuqtalarda bo’lgan kvadrat; b) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ellipsning I chorakdagi qimi; c)uchlari (0;0),(4;0),(4;2) va (0;2) nuqtalarda bo’lgan to’g’ri to’rtburchak chegarasi. 2 R Γ x 2ds integralni hisoblang, bu yerda Γ-x 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 aylana yoyi. 3 R Γ x 2 + y 2 n ds integralni hisoblang, Γ- x 2 +y 2 = a 2 aylana. 4 R Γ f (x, y) ds integralni hisoblang, bu yerda Γx = a (t − sin t),y = a (1 − cos t) sikloidaning birinchi arki, 0 ≤ t ≤ 2π ; f (x, y) esa a)f (x, y) = y b)f (x, y) = y

A = (a, 0) nuqtaga parametr t ning t = 0 qiymati, B = (−a, 0) nuqtaga esa t = π qiymati mos kelib, t parametr 0 dan π gacha o’zgarganda (x, y) nuqtaga A dan B ga qarab ellipsning yuqori yarim tekislikdagi qismini chizib chiqadi. Azizbek Mamanazarov Ikkinchi tur egri chiziqli integral P(x, y) = y 2 , Q(x, y) = x 2 funksiyalar esa Γ da uzluksiz. (3) holdagi formuladan foydalanib quyidagini topamiz: Z Γ y 2dx + x 2dy = Zπ o [b 2 sin2 t(−a ) + a 2 cos2 tb cos t] dt = = ab Zπ 0 (a cos3 t − bsin3 t) dt = − 4 3 ab2 .

3. Agar Γ chiziq

ko’rinishda, ya’ni parametrik usulda berilgan bo’lsa, U holda (1) integral
formula yordamida hisoblaniladi.

Agar Γ chiziq x=x(y),x∈[c,d] ko’rinishida berilgan bo’lsa,

u holda

formuladan foydalaniladi.

1-misol.Ushbu

qismidan iborat.
Ellipsning parametrik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

A = (a, 0) nuqtaga parameter t ning t = 0 qiymati, B = (-a, 0)
nuqtaga esa t = π qiymati mos kelib, t parametr 0 dan π gacha
o’zgarganda (x, y) nuqtaga A dan B ga qarab ellipsning yuqori
yarim tekislikdagi qismini chizib chiqadi
U holda 1-holdagi formuladan foydalanishimiz mumkin:

b) holda ham y = y(x) funsiya sifatida y = x2 parabolani
olamiz va 1-holdagi formuladan foydalanib integralni
hisoblaymiz:

Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar Riman integraliga keltirilib
hisoblanadi. Bunda Γ chiziqning tenglamasi berilish usuliga
bog’liq ravishda turli formulalardan foydalanamiz. (1) integralni
hisoblash masalasini qaraylik.
1. Aytaylik Γ chiziq y = y(x), x ∈ [a, b] ko’rinishida berilgan
bo’lsin.U holda