Mavzu: Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar reja kirish Asosiy qism: I bob

2.3-§. Chegarada buziladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
1. Masalaning qo’yilishi. Bizga quyidagi
(2.3.1)
differensial tenglama berilgan bo’lsin, bu yerda n – berilgan natural son, p(x) va lar esa oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyalar bo’lib, tengsizlik o’rinli, bunda
Bunda tenglama uchun chegaraviy shartlar ning qiymatiga qarab turlicha qo’yiladi. Chegaraviy shartlar, masalan, bo’lganda
(2.3.2)
ko’rinishda , bo’lganda esa
(2.3.3)
ko’rinishda qo’yilishi mumkin.
(2.3.1) tenglama uchun (2.3.2) va (2.3.3) shartlar bilan berilgan chegaraviy masalalar [1] monografiyada batafsil o’rganilgan.
Agar (2.3.1) tenglama uchun y yoki bu shartlar bilan qo’yilgan chegaraviy masalaning yechimi

formula bilan aniqlansa, u holda funksiya o’sha masalaning Grin funksiyasi deyiladi.
2. Chegarada buziladigan 4 – tartibli differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzishga doir misollar.
1) Ushbu differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
(2.3.4)
Agar tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi faqat bo’lsa, u holda oddiy Grin funksiyasi tuziladi. Buni tekshiraylik. (2.3.4) funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak, tengliklar kelib chiqadi. Bulardan esa larga ega bo’lamiz. Demak, chegaraviy shartlarni faqat trivial yechim, ya’ni, funksiya qanoatlantiradi. Shuning uchun oddiy Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, Oddiy differensial tenglamalar kursida Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusini o’rganishda imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni hisoblash uchun fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.
Oddiy differensial tenglamalar matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, uning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi.
Kurs ishining birinchi bob birinchi paragrafida Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha yoritib berilgan. Ikkinchi paragrafda Ikki nuqtali chegaraviy masala ko’rsatib o’tilgan. Uchinchi paragrafda Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi mavzulari tushuntirib berilgan. Ikkinchi bob birinchi paragrafda Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusi ko’rsatib berilgan. Ikkinchi paragrafda Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ishlab yo’nalishlar berilgan. Uchinchi paragrafda ham Chegarada buziladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ishlab yoritib berilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan Oddiy differensial tenglamalarga qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin.