Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli

Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
Ushbu n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan
boʻlsin

(1)
tenglamalar sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

a₁₁ a₁₂ ………a_1n x₁ b₁

a₂₁ a₂₂..............a_2n x₂ b₂
A= . . . . . . . . . . X= . B= .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
a_n1 a_n2 . . . . . . . a_nn x_n b_n

Bu yerda, A − noma’lumlar oldida turgan koeffitsiyentlardan tuzilgan matritsa;

X −noma’lumlardan tuzilgan matritsa; B − ozod hadlardan tuzilgan matritsa.
U holda (1) tenglamalar sistemasini
AX = B (2)
koʻrinishda ifodalash mumkin.
Faraz qilamiz, det| A|≠ 0 boʻlsin. U holda A matritsa uchun A^-1teskari matritsa
mavjud. AX = B tenglikning har ikkala tomonini A^-1ga chapdan koʻpaytiramiz:
A^-1 AX= A^-1 B, EX= A^-1 B, X= A^-1 B
Hosil boʻlgan X= A^-1 B ifoda chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli
bilan yechish formulasidan iborat.
1-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
2x₁+2x₂ -3x₃=5
x₁ + x₂ +x₃=0
3x₁+x₂ +x₃ =2
Yechish. A, X,B matritsalarni tuzib olamiz:
2 2 -3 x₁ 5
1 -1 1 x₂ 0
3 1 1 x₃ 2
Bundan, det| A| = −12 ≠ 0.
Teskari matritsani topamiz:
=-2 A₁₂ =- =2 A₁₃ = =4


=-5 A₂₂ = =11 =- =4

Bundan:

Demak, 1 x =1, 2 x = 0, 3 x = −1 yoki (1;0; 1)
t
X = −
.
Agar sistema matritsasining rangi tenglama noma’lumlari sonidan kichik bo’lsa
ham uning yechimini teskari matritsa usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda
ko’rib chiqamiz.
2-misol. Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yeching:
Yechish. Tenglamalar sistemasi matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi (A B)
larning rangini topib
(A) = r (A B) = 3
ekanligini koʻramiz. Uning minori
noldan farqli. Shuning uchun toʻrtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan
tenglamalarda 4 x qatnashgan hadlarni oʻng tomonga oʻtkazamiz.

Bu sistemani teskari matritsa usuli bilan yechamiz. Avval asosiy matritsa

teskarisini Gauss - Jordan usulida topamiz:

Tenglamalar sistemasining umumiy yechimni topish uchun

1 X A B − =  amalni
bajaramiz:

Javob: ( ) 4 4 4 4 4 30 71 ; 7 15 ; 14 32 ; ,

t
X = + x − − x − − x x x R
4 x ga ixtiyoriy qiymatlar berib 1 2 3 x , x , x noma’lumlarning mos qiymatlarini
topamiz. Sistema cheksiz koʻp yechimga ega.
3-misol. Quyidagi tenglamani yeching:


X


Yechish. Tenglamaga quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U holda berilgan tenglama

A X  B = C
koʻrinishni oladi.
Agar AXB ifodaning chap tomondan
1 A−
va oʻng tomondan
1 B−
ga
koʻpaytirsak, hamda