Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Misol-1. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan
(16)
differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisini topamiz.
Yechish. Avvalo (16) differensial tenglamani

ko’rinishda yozib olamiz. Bu holda

bo’lgani uchun

munosabatlar o’rinli. Ko’rinib turibdiki,
.
Shuning uchun (16) chiziqli tenglama to’liq differensialli tenglama emas.
Endi (16) differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisini

ko’rinishda izlaymiz. Bu holda bo’lgani uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. (14) tenglikdan esa

formula kelib chiqadi.
Teorema-4. Agar (1) differensial tenglamaning integallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, uning integrali bo’lsa, u holda
(17)
funksiya ham (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. Bu yerda ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya.
Isbot. Berilgan (1) differensial tenglamaning chap tomonini ga ko’paytirib

munosabatni hosil qilamiz. Bundan (17) tenglik bilan aniqlangan funksiya (1) differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi ekanligi kelib chiqadi.■
13-§. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.

Hosilaga nisbatan yechilgan

(1)
differensial tenglamaning
(2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi.
Teorema-1 (Koshi). Agar (1) differensial tenglamadagi funksiya

to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini, ya’ni nuqtalar uchun shunday soni topilib
(3)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining
oraliqda aniqlangan va (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud. Bu yerda
. (4)
Izoh-1. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida xususiy hosilaga ega bo’lib,

shartni qanoatlantirsa, u holda funksiya to’g’ri to’rtburchakda o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Haqiqatan ham ixtiyoriy ikki nuqtalar uchun Lagranj teoremasiga asosan quyidagi

munosabat bajariladi. Bu yerda
Oxirgi munosabatdan va xususiy hosilaning chegaralanganligidan (3) tengsizlik kelib chiqadi.
Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham (3) Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Masalan. Ushbu funksiya nuqtada hosilaga ega emas, lekin

o’rinli. Bunda Lipshits o’zgarmasi bo’ladi.
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misollarni qaraylik.