Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

4-§. Bir jinsli differensial tenglamaga keltiriladigan differensial tenglamalar.
Ushbu

(1)

ko’rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun, uni o’zgaruvchilari ajraladigan yoki bir jinsli differensial tenglamalarga keltiramiz. Buning uchun quyidagi hollarni ko’rib chiqamiz:

1-hol. Aytaylik bo’lsin. Bu holda (1) differensial tenglama

(2)

ko’rinishni oladi. Oxirgi (2) differensial tenglamani ushbu

(3)

ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa bir jinsli differensial tenglamadir.

2-hol. Aytaylik o’zgarmas sonlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lib, quyidagi





to’g’ri chiziqlar nuqtada kesishsin. U holda koordinatalar boshini nuqtaga ko’chirsak, berilgan differensial tenglama bir jinsli differensial tenglamaga keltiriladi. Haqiqatan ham, (1) differensial tenglamani ushbu

ko’rinishda yozib

almashtirish bajarsak, ekanligidan quyidagi

differensial tenglama hosil bo’ladi. Bu esa bir jinsli differensial tenglamadir.

2-hol. Faraz qilaylik, sonlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lib, (4) to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’lsin. U holda

munosabatlar bajarilgani uchun (1) differensial tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

.

Bu differensial tenglama almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga keltiriladi. Haqiqatan ham quyidagi

,

belgilashlar natijasida

differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.

Izoh. Ayrim hollarda berilgan tenglamada almashtirish bajarib, so’ngra ning o’rniga va ning o’rniga qo’yib, yo’qolib ketishini talab qilib soni tanlanadi va hosil bo’lgan bir jinsli differensial tenglama yechiladi.

Masalan, ushbu

differensial tenglamaga bu usulni qo’llasak, almashtirish bajarish kerakligi kelib chiqadi. Ushbu misolni yechishni o’quvchiga havola qilamiz.