Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsalar usulida yechish

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish orqali noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deb ataladi, bu tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi. Matritsa tenglamasi noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun ham identifikatsiyaga aylanadi.
Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.
Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi mos kelmaydigan.
Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - noaniq.
Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa  , keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.

Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.

Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, biz bunday SLAElarni chaqiramiz. boshlang'ich. Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistema holatida barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.
Biz o'rta maktabda bunday SLAEni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda biz bitta tenglamani oldik, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodaladik va uni qolgan tenglamalarga almashtirdik, so‘ngra keyingi tenglamani oldik, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodaladik va uni boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki ular qo'shish usulidan foydalanganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil toʻxtalib oʻtirmaymiz, chunki ular mohiyatan Gauss usulining modifikatsiyalaridir.
Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usulidir. Keling, ularni saralab olaylik.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish.

Keling, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishimiz kerak

bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning asosiy matritsasi determinanti noldan farq qiladi, ya'ni.
Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va  almashtirish orqali A dan olinadigan matritsalarning determinantlaridir 1, 2, …, n bepul a'zolar ustuniga mos ravishda ustun:


Bunday belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usulining formulalari bo'yicha hisoblanadi  . Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usulida shunday topiladi.
Misol.
Kramer usuli  .
Qaror.
Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega  . Uning determinantini hisoblang (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, tizim Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega.
Kerakli determinantlarni tuzing va hisoblang  (aniqlovchi A matritsadagi birinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, determinant — ikkinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, A matritsaning uchinchi ustunini boʻsh aʼzolar ustuniga almashtirish orqali olinadi. ):

Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish  :

Javob:
Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizim tenglamalari soni uchtadan ko'p bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.