Mavzu: darajali qatorlar funksional qatorlar

Darajali qator xossalari.

Darajali qator hadlari u_n(x)=a_nxⁿ ko‘rinishdagi eng sodda, ya’ni natural ko‘rsatkichli darajali funksiyalardan, S_n(x) xususiy yig‘indilari esa n-darajali ko‘phadlar ko‘rinishidagi nisbatan sodda funksiyalardan iborat funksional qatordir. Shu sababli darajali qatorlar, boshqa funksional qatorlardan farqli ravishda, ko‘phadlarga xos bir qator xossalarga ega bo‘ladi. Bu xossalarni quyidagi teoremalar ko‘rinishida isbotsiz keltiramiz.
5-TEOREMA: Agar darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya ( – R , R) oraliq ichida joylashgan har qanday [a, b] kesmada uzluksiz bo‘ladi .
Masalan, geometrik progressiya yordamida
(13)
darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) va yig‘indisi S(x)=1/(1+x) funksiyadan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz. Bu funksiya (–1, 1) oraliqda uzluksizligi ravshandir.
6-TEOREMA: Darajali qatorni uning ( – R , R) yaqinlashish oralig‘i ichida joylashgan har qanday [a, b] kesma bo‘yicha hadlab integrallash mumkin, ya’ni

. (14)
Masalan, (13) darajali qatorni kesma bo‘yicha hadlab integrallab,
,
natijani olamiz. Oxirgi tenglikda t o‘zgaruvchini x bilan almashtirib, yangi
(15)
darajali qatorga ega bo‘lamiz. Bunda x=–1 holda uzoqlashuvchi garmonik qator, x=1 holda esa Leybnits alomati shartlarini qanoatlantiruvchi va shu sababli yaqinlashuvchi bo‘lgan ishorasi navbatlanuvchi sonli qator hosil bo‘ladi. Demak, (15) darajali qatorning yaqinlashish sohasi ( –1, 1] bo‘lib, undan x=1 holda
(16)
tenglikni olamiz.