Mavzu: Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi. Abel teoremasi Reja

3. ning darajalari bo’yicha qatorlar

Quyidagi ko’rinishdagi funksional qatorga ham darajali qator deyiladi:

. (1)
Bu yerdagi o’zgarmas sonlarga darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
(1) darajali qatorning yaqinlashish sohasini topish uchun almashtirish kiritamiz. Natijada, quyidagi darajali qator hosil bo’ladi:
, (2)
(2) qator ham darajali qatordir, u faqat ning darajalari bo’yicha yoyilgan.
(2) qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat, ya’ni . Bundan ning yoki tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
bo’lganda (2) qator uzoqlashuvchi bo’lgani uchun, bo’lganda (1) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi. Demak, oraliqdan tashqarida uzoqlashuvchi, oraliqda esa qator yaqinlashuvchidir.
Bundan (1) qatorning yaqinlashish oralig’i markazi nuqtada bo’lgan oraliqdan iborat bo’ladi.
, (3)
darajali qatorning yaqinlashish oralig’i ichida barcha xossalari (1) darajali qator uchun yaqinlashish oralig’i ichida saqlanadi.
Agar integrallash chegaralari yaqinlashish oralig’i ichida yotsa (1) darajali qatorni hadma-had integrallashdan so’ng yig’indisi berilgan (1) qatorning yig’indisidan olingan integralga teng bo’lgan qator hosil bo’ladi. ning yaqinlashish oralig’i ichida yotuvchi hamma qiymatlari uchun (1) darajali qatorni hadma-had differensiallashdan, yig’indisi berilgan (1) qatorning yig’indisidan olingan hosilasiga teng bo’lgan qator hosil bo’ladi.
Misol. qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. deb olamiz. U holda

qator hosil bo’ladi.
Bu qator oraliqda yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan qator ning , ya’ni tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida yaqinlashadi.