Mavzu: Deformatsiyalangan sistemalar ustivorligi

22.2 Kritik kuchni aniqlash uchun Eyler masalasi.


Demak tuzilmalarni ustivor holatida turib ishlashini taminlash uchun kritik kuchni topish kerak. Bu masalani birinchi bo’lib 1744 yilda L.Eyler nazariy yo’l bilan hal etgan.
Aytaylik bizga ikkala uchlari sharnirlar yordamida maxkamlangan sterjen berilgan bo’lsin. U sterjen P kuchini qandaydir qiymatida kichik bikrlik tekisligida egilgan bo’lsin deylik.
Bunda R=Rkr sterjen egri chiziqli holatda bo’ladi.
Ixtiyoriy z kesimdagi eguvchi moment
M=P  y (22.2)


(-)chunki egrilik ishorasi bilan M ishorasi qarama qarshi.

22.1 shakl.

S
terjen egilgan o’qining diferentsial tenglamasi quydagicha bo’ladi.
(22.3)
yoki (22.4)


(22.3) da
(22.5)


u holda
(22.6)


(22.5) Oliy matematikadan mahlumki garmonik funktsiyaning diferentsial tenglamasidir. Bu tenglama yechimi yoki integrali quydagiga tengdir


u=A cos kz+V sin kz (22.7)


(22.6) dagi A va V integral doimiylarini sterjen chegaraviy shartlaridan foydalanib aniqlaymiz:
1. z=0 da u=0 u holda (22.6) dan
0=Asos k0+Vsin k0=A1+0
bundan A=0
2. z= da u=0 u holda
0=Asos k +Vsin k


1 – shartga asosan A=0 u oolda ikkinchi chegaraviy shartdan quyidagini oosil qilamiz


Vsin k =0 (22.8)
Bunda 2 xol bo’lishi mumkin.

1. 
   V=0 lekin bu bo’lishi mumkin emas, chunki sterjen hamma nuqtalarida u=0 sterjen to’g’ri chiziqligicha qoladi, bu masalani qo’yilishiga ziddir chunki sterjen egilgan.
   
2. 
   Sin k
   

k =, 2, 3, …, n  (22.9)
(7-8)larni  (6) ga qo’ysak
(22.10)
sterjen elastik chizig’i tenglamasini hosil qilamiz (10) ko’rinadiki sterjen egilgan o’qi sinusoidal chiziqdan iboratdir.



SHunday qilib kritik kuchni bir necha qiymatini hosil qildik.
Bu kritik kuchni qaysi biri havfli degan savol tug’iladi. 1 – holat ustivor qolganlari esa noustivor bo’ladi. Muxandislik hisob ishlari uchun Rkr eng kichik qiymati amaliy axamiyatga egadir.



Maolumki har qanday markaziy siqilgan tuzilmalar kichik bikrlik tekisligi bo’yicha egiladi. SHuning uchun formuladagi J o’rniga Jmin olamiz:
(22.11)
(11) Eyler formulasi deb ataladi. (11) ko’rinadiki (Eyler kuchi) kritik qiymati sterjen geometrik o’lchamlari bilan elastiklik moduliga bog’liq bo’ladi.
22.3.Sterjen uchlari maxkamlanish usulini kritik kuch formulasiga ta’siri
Umuman sterjen uchlari biz tekshirgan holdan boshqacha maxkamlangan bo’lsa,  xollar uchun xam diferentsial tenglamani tuzib kritik kuch qiymatini topishimiz mumkin.
Yuqoridagi holda n=1 bo’lganda 1 ta sinus ideal yarim to’lqin xosil bo’lgan edi.

1. 
   Bir uchi qistirib maxkamlangan ikkinchi uchi erkin bo’lgan sterjenni ko’ramiz
   

Bularga asosan kritik kuch formulasini umumiy holda quyidagiga yozishimiz mumkin ekan.
(22.12)
bu yerda
 – sterjen uchlarini maxkamlanish usulini hisobga oluvchi koeffitsient deyiladi.
– sterjen uzunligi
 – keltirilgan uzunlik, erkin uzunlik deyiladi.
Buni birinchi marotaba bir necha tadqiqotlar asosida 1892 yilda F.Yasinskiy kiritgan.