Mavzu: Differensial tenglamalar sistemasini integrallash

MAVZU: Differensial tenglamalar sistemasini integrallash

Reja

I. Sistemani bitta yuqori tartibli tenglamaga keltirib integrallash

II. Sistemaning birinchi integrallari

III. Normal sistemaning immetrik ko’rinishi

Bizga

Bizga

differensial tenglamalarning normal sistemasi berilgan bo’lsin.

Ayrim hollada bu sistemaning tenglamalarini differensialllab,

noma’lum funksiyalardan faqat bittasi qatnashgan -tartibli

differensial tenglama hosil qilish mumkin. Hosil bo’lgan

tartibli tenglamani integrallasak (1) sistemaning tartibi

bittaga kamayadi.

 

1-misol.

1-misol.

sistemaning birinchi tenglamasini differensiallaylik: . Bu

yerda tenglama hosil bo’ldi. Uning umumiy yechimi

. Buni sistemaning birinchi tenglamasiga qo’ysak

. Demak qaralayotgan

sistemaning umumiy yechimi

 

2-misol.

Dastlab sistemani va ga nisbatan yehib olaylik:

. Endi sistemaning ikkinchi

tenglamsini differensiallaymiz:

. Bu yerda differensial

tenglama hosil bo’ldi. Uning umumiy yechimi . Buni

tenglikka qo’ysak:

kelib chiqadi. Demak qaralayotgan

sistemaning umumiy yechimi

 

2-reja. Agar (1) sistemadan

2-reja. Agar (1) sistemadan

tenglik hosil bo’lsa, (2) tenglikni sistemaning integrallanuvchi kombinatsiyasi deb ataymiz.

Ta’rif. Agar (1) sistemaning ihtiyoriy yechimini funksiyga keltirib

qo’yish natijasida, funksiya o’zgarmasga aylansa, u holda

tenglik (1) sistemaning birinchi integrali deb ataladi.

(1) sistemaning (2) integrallanuvchi kombinatsiyasidan uning bitta birinchi integrali kelib chiqadi .

Misol.

sistemaning tenglamalarini qo’shamiz: . Bundan

Bu tenglik sistemaning integrallanuvchi kombinatsiyasidir. Undan sistemaning

birinchi integrali hosil bo’ladi.

 

Boshqa tomondan, agar sistema tenglamalarini ayirsak: . Bundan

Boshqa tomondan, agar sistema tenglamalarini ayirsak: . Bundan

Bu tenglik sistemaning integrallanuvchi kombinatsiyasidir. Undan sistemaning

birinchi integrali hosil bo’ladi. tengliklardan va ni aniqlaymiz:

O’zgarmas parametrlarni boshqatdan tanlasak yuqorida hosil qilnga umimy yechim ko’rinishini

olamiz:

Agar sistemaning ta integrallanuvchi kombinatsiyasini hosil qilsak, u holdabu kombinatsiyaladan

sistemaning ta birinchi integralini olamiz:

 

Agar

Agar

matritsaning rangi ga teng bo’lsa, (3) birinchi integarllar chiziqli erkli deyiladi. (1) sistemanining

ta chiziqli erkli birinchi integrali uning umumiy yechimi bo’ladi. Agar sistemaning ta chiziqli

erkli birinchi integrali ma’lum bo’lsa, u holda sistema tartibini birlikka pasaytirish mumkin.

Misol.

sistema tenglamalarini qo’shamiz . Bundan birinchi

integral aniqlanadi. Sistema tenglamalarini mos ravishda va ga ko’paytiramiz, so’nra

qo’shamiz: ⇒ ⇒ .

Aniqlangan birinchi integrallarni chiziqli erkli bo’lishini tekshiramiz, bu yerda

.

 

Bu matritsaning rangi 2 ga teng. Demak topilgan birinchi integrallar chiziqli erkli.

3-reja. Normal sistemaning simmetrik ko’rinishi deb ushbu

sistemaga aytiladi. Ushbu

normal sitemaga quyidagi simmetrik ko’rinishdagi sstema mos keladi:

Simmetrik ko’rinishdagi sistemaning afzal tomoni shundaki, ko’p hollarda undagi noma’lumlardan

ihtiyoriy bittasini erkli o’zgaruvchi, qolgan noma’lumlarni izlanayotgan funksiya deb hisoblab, uning

birinchi integralini topish oson bo’ladi.

 

Misol.

Misol.

simmetrik ko’rinishdagi sistemani qaraymiz. Uning ohirgi tengligidan

o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi. Undan birinchi integral

aniqlanadi. (4) sistemada birinchi nisbatning surat mahrajini ga, ikkinchisini ga, uchinchisini

ga ko’paytirib, quyidagi nisbatni olamiz:

Bundan yoki ikkinchi integralni olamiz. Aniqlangan birinchi

integrallar chiziqli erkli bo’lgani uchun ular (4) sistemaning umumiy integralini ifodalaydi: