Mavzu: Ehtimolning klassik tahrifi. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. Shartli ehtimollar. Hodisalarning bog’liqsizligi

Farg’ona politexnika instituti
“Oliy matematika” kafedrasi Qo’ziyev Shahobiddin

Mavzu:Ehtimolning klassik tahrifi. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. SHartli ehtimollar. Hodisalarning bog’liqsizligi

Berilgan hodisaga qulaylik tug’diruvchi hollarni bevosita hisoblash ancha qiyin bo’lishi mumkin. SHuning uchun hodisaning ehtimolini hisoblashda uni boshqa soddaroq hodisalar kombinatsiyasi ko’rinishida ifodalash qulayroqdir. Biroq bunda hodisani boshqa hodisalarning kombinatsiyasi ko’rinishida ifodalashda hodisaning ehtimoli bo’ysunadigan qoidalarni bilish kerak. Quyida ular bilan tanishib o’tamiz.
1. Birgalikda bo’lmagan hodisalar ehtimollarini qo’shish teoremasi. Ikkita birgalikda bo’lmagan A va V hodisadan istalgan birining ro’y berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng:
R(A + V)=R(A)+R(V).
Bu teoremaga keyinroq misol ko’ramiz.
2. SHartli ehtimollar. Hodisalarning bog’liqsizligi. Hodisalarning ehtimolini aniqlash asosida biror S shartlar kompleksi yotishini aytgan edik. Agar R(A) ehtimolni hisoblashda S shartlar kompleksidan boshqa hech qanday shartlar talab qilinmasa bunday ehtimol, shartsiz ehtimol deyiladi. Ko’p hollarda A hodisaning ehtimolini biror V hodisa (R(V)>0 deb faraz qilinadi) ro’y bergan degan shartda hisoblashga to’g’ri keladi. Bunday ehtimol shartli ehtimol deyiladi va R(A/V) kabi belgilanadi. Agar ikkita A va V hodisadan birining ehtimoli ikkinchisining ro’y berishi yoki ro’y bermasligi natijasida o’zgarmasa, u holda bu hodisalar o’zaro bog’liqsiz hodisalar deyiladi, aks holda bu hodisalar o’zaro bog’liq hodisalar deyiladi.
Masalan, oq va qora sharlar solingan yashikdan olingan birinchi shar unga qayta solinsa, ikkinchi marta olingan sharning oq bo’lish ehtimoli birinchi olingan sharning oq yoki qora bo’lishiga bog’liq emas. SHuning uchun birinchi va ikkinchi shar olish natijalari o’zaro bog’liqsiz bo’ladi.
Aksincha, agar birinchi olingan shar yashikka qayta solinmasa, u holda ikkinchi marta shar olinishidagi natija birinchi marta shar olish natijasiga bog’liq ravishda o’zgaradi, chunki birinchi marta shar olinishi natijasida yashikdagi sharlarning sostavi o’zgaradi. Bu yerda biz bog’liq hodisalar misoliga egamiz.
SHartli ehtimollar uchun qabul qilingan belgilashlardan foydalanib, A va B hodisalarning o’zaro bog’liqsiz bo’lishi shartini
R(A/ B)=R(A)
yoki
R(B /A) = R(B)
ko’rinishda yozish mumkin.
. Hodisalar ehtimollarini ko’paytirish teoremasi. Ikkita bog’liq hodisaning birgalikda ro’y berish ehtimoli ulardan birinchisining ehtimolini ikkinchisining birinchisi ro’y bergan degan shart ostidagi shartli ehtimoliga ko’paytirilganiga teng va aksincha, yahni
R(A* B) = R(A)*R(B / A),
R(A* B) = R(B)*R(A/ B).
Xususiy holda, agar A va B hodisalar o’zaro bog’liq bo’lmasa, ularning birgalikda ro’y berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining ko’paytmasiga teng:
R(A* B) = R(A)*R(B).
4. Birgalikda bo’lgan hodisalar ehtimollarini qo’shish teoremasi. Ikkita birgalikda bo’lgan A va B hodisadan hech bo’lmaganda birining ro’y berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollari yig’indisidan ularning birgalikda ro’y berish ehtimolining ayirilganiga teng:
R(A + B)=R(A)+R(B)–R(A*B).
Agar A va B hodisalar o’zzro bog’liq bo’lmasa, u holda ushbu formula o’rinli bo’ladi:
R(A+B) = R(A) + R(B)– R(A)*R(B)
1–masala. Yashikda 55 ta shar bor, ulardan 20 tasi qizil, 12 tasi ko’k va 18 tasi oq. Tavakkaliga bitta shar olindi, uning rangli (qizil yoki ko’k) shar bo’lish ehtimolini toping.
. Rangli shar chiqishi yo qizil shar, yoki ko’k shar chiqishini bildiradi. Qizil shar chiqish (A hodisa) ehtimoli:
R(A) =20/50 = 0,4.
Ko’k shar chiqish (B hodisa) ehtimoli; R(B)=12/50 = 0,24.
A va B hodisalar birgalikda emas (bir rangli shar chiqishi boshqa rangli shar chiqishini yo’qqa chiqaradi), shuning uchun birgalikda bo’lmagan hodisalar ehtimollarining qo’shish teoremasini qo’llanish mumkin.
Rangli shar chiqish (A+B hodisa) ehtimoli quyidagiga teng:
R(A + B) = R(A) + R(B) = 0,4 + 0,24 = 0,64.
2–masala. Institutning konsulg’tatsiya punktiga A, B va S shaharlardan kontrol ishlar solingan paketlar keladi. A shahardan paket olinish ehtimoli 0,5 ga, B shahardan paket olinish ehtimoli esa 0,3 ga teng. Navbatdagi paketning S shahardan kelish ehtimolini toping.
. “Paket A shahardan kelgan”, “Paket B shahardan kelgan” va “Paket S shahardan kelgan” hodisalari to’la gruppa hosil qiladi, shuning uchun bu hodisalarning ehtimollari yig’indisi birga teng: 0,5 + 0,3 + r= 1.
Bu yerdan izlanayotgan ehtimol:
r = 1–0,8 =0,2.

• E’TIBORINGIZ UCHUN KATTA RAXMAT