Shartli ehtimol. To’la

1-Ma’ruza

Kombinatorika elementlari. Ehtimolning klassik ta’rifi. Geometrik ehtimol. Shartli ehtimol. To’la ehtimol formulasi. Bayyes formulasi Bernulli sxemasi.

Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari Ma’ruza rejasi

1. 
   Kombinatorika elementlari;
   
2. 
   Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar;
   
3. 
   Ehtimolning klassik ta’rifi;
   
4. 
   Geometrik ehtimol;
   
5. 
   Shartli ehtimol.
   
6. 
   To’la ehtimol formulasi. Bayyes formulasi;
   
7. 
   Bernulli sxemasi;
   
8. 
   Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari.
   

Kombinatorika elementlari

Turli guruhlar elementlarining kombinatsiyasi. Elementlarning 𝑟 guruhi berilgan bo’lsin: birinchi guruh 𝑛₁ ta 𝑎₁₁, 𝑎₁₂, … , 𝑎_1𝑛1 elementdan, ikkinchi guruh 𝑛₂ ta 𝑎₂₁, 𝑎₂₂, … , 𝑎_2𝑛2 elementdan va hokazo 𝑟 − guruh 𝑛_𝑟 ta 𝑎_𝑟1, 𝑎_𝑟2, … , 𝑎_𝑟𝑛r elementdan iborat. 𝑟 ta elementdan iborat kombinatsiyalar shunday tuziladiki, bunda har bir kombinatsiyaga har bir guruhdan bittadan element qatnashadi. Barcha
𝑎_1i1 , 𝑎_2i2 , … , 𝑎_𝑟ir kombinatsiyalar soni
𝑁 = 𝑛₁𝑛₂ … 𝑛_𝑟 (1)
formula bilan aniqlanadi.

1. 
   Misol. Birinchi guruhda 15 ta, ikkinchisida 18 ta va uchinchi guruhda 20 ta talaba bor. Har bir guruhga bittadan dam olish uyiga yo’llanma ajratilgan. Har bir guruhdan bittadan talabani tanlab, dam olishga necha usul bilan “uchlik”larni jo’natish mumkin?
   

• 
  Shartga ko’ra 𝑛₁ = 15, 𝑛₂ = 18 va 𝑛₃ = 20. U holda (1) formulaga ko’ra “uchliklar” soni 𝑁 = 𝑛₁𝑛₂𝑛₃ = 15 · 18 · 20 = 5400, ya’ni uchta yo’llanma bilan uch guruhdan 5400 usul bilan uchta talabani jo’natish mumkin ekan.◄
  

O’rinlshtirishlar. 𝑛 ta 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛 element berilgan. Ularni 𝑘 tadan qilib joylashish tartbini inobatga olgan holda barcha 𝑎_i1 , 𝑎_i2 , … , 𝑎_ir kombinatsiyalarini tuzamiz, boshqacha qilib aytganda 𝑛 elementning 𝑟 tasini 𝑟 ta o’ringa joylashtiriladi. Bunday kombinatsiyalar (o’rinlashtirishalar) soni

𝑛
𝑁 = 𝐴^𝑘 = 𝑛!/⁽𝑛 − 𝑟⁾! (2)
formulaga ko’ra hisoblanadi.

2. 
   Misol. Guruhda 25 ta talaba bor. Guruh sardorini, yoshlar harakati yetakchisini, kasaba uyushmasi a’zosini va guruh tashkilotchisini saylash kerak. Agar har bir talaba faqat bitta lavozimni egallash mumkin bo’lsa, necha usul bilan bu lavozimlarni guruh talabalari o’rtasida taqsimlash mumkin?
   

• 
  
  25
  Bu holda 25 elementni 4 tadan qilib o’rinlashtirishlar sonini topish kerak. (2) formulaga ko’ra 𝑁 = 𝐴⁴ = 25!/⁽25 − 4⁾! = 25 · 24 · 23 · 22 = 303600, ya’ni 25 talabadan tortta lavozimga to’rt kishini 303600 usul bilan saylash mumkin ekan.◄
  

Takroriy o’rinlashtirishlar. 𝑛 ta elementan iborat 𝐷 = ^*𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛⁺ to’plam berilgan. Bu to’plamdan ketma-ket 𝑎_i elementlardan bittasi tanlanadi va yana to’plamga qaytariladi. Natijada 𝑟 − qadamda 𝑎_i1 , 𝑎_i2 , … , 𝑎_ir kombinatsiya ro’yxatga olinadi. Bunday barcha 𝑎_i1 , 𝑎_i2 , … , 𝑎_ir kombinatsiyalar soni
𝑁 = 𝑛^𝑟 (3)
formula bilan hisoblanadi, bunda 𝑘 −qadamda 𝑎_i𝑘 element 𝐷 to’plamdan olingan. Bunday kombinatsiyalarda bitta element 1 tadan 𝑟 tagacha ham qatnashishi mumkin, biroq kombinatsiyalar elementlarning o’rni bilan farq qilishi mumkin.

3. 
   Misol. 1, 2, 3 raqamlaridan tuzilgan barcha ikki xonali sonlarning soni nechta va ularni yozib chiqing.
   

• 
  Bu yerda 3 ta elementni 2 tadan qilib takroriy o’rinlashtirishlar sonini topish kerak:
  

𝑁 = 3² = 9. Endi bu raqamlardan tuzilgan barcha ikki xonali sonlarni yozamiz: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.◄
Guruhlashlar. 𝐷 = ^*𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛⁺ to’plamning 𝑟 ta elementidan tuzilgan
𝑎_i1 , 𝑎_i2 , … , 𝑎_ir kombinatsiyalarda elementning tartibi inobatga olinmaydi va bitta element bitta kombinatsiyada faqat bir marta qatnashadi. Demak bir xil elementlardan tashkil topgan kombinatsiyalar teng hisoblanadi. Bunday kombinatsiyalarning soni

𝑛
𝑁 = 𝐶^𝑟 = 𝑛!/^,(𝑛 − 𝑟⁾! 𝑟!^- (4)
formulaga ko’ra hisoblanadi.

4. 
   Misol. Guruhda 25 ta talaba bor. Guruhga dam olish uyiga borish uchun uchta yo’llanma ajratilgan. Necha usul bilan guruh talabalaridan uchtasini dam olish uyiga jo’natish mumkin.
   

• 
  
  25 ta elementni 3 tadan qilib guruhlashlar sonini topish kerak: 𝑁 = 𝐶³ = ^25! =
  

²⁵ 22!·3!
2300. Demak 25 talabani uchtadan guruhlab 2300 usul bilan dam olish uyiga jo’natish mumkin ekan.◄
O’rin almashtirishlar. Bunda𝑛 ta turli elementli 𝐷 = ^*𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛⁺ to’plam elementlaridan faqat elementlarning tartibi bilan farq qiladigan barcha 𝑎_i1 , 𝑎_i2 , … , 𝑎_i𝑛 kombinatsiyalar qaraladi. Har bir kombinatsiyada bitta element faqat bir marta qatnashadigan bunday kombinatsiyalar soni
𝑁 = 𝑃_𝑛 = 𝑛! (5)
formula bilan hisoblanadi.

5. 
   Misol. Axmedov, Botirov va Vohidov familiyalaridan necha usul bilan uchta familiyalai ro’yxat tuzish mumkin va bu ro’yxatlarni keltiring.
   

• 
  3 ta elementning o’rin almashtirishlar sonini topish kerak: 𝑁 = 𝑃₃ = 3! = 6. Endi bu familiyalarning bosh harflaridan tuzilgan ro’yxatlarni keltiramiz: ^*𝐴, 𝐵, 𝑉⁺ ,
  

^*𝐴, 𝑉, 𝐵⁺, ^*𝐵, 𝐴, 𝑉⁺, ^*𝐵, 𝑉, 𝐴⁺, ^*𝑉, 𝐴, 𝐵⁺, ^*𝑉, 𝐵, 𝐴⁺.◄